Как доказать, что пространство-время максимально симметрично?

На ум приходят два общих метода:

1. Докажите, что тензор Римана принимает форму уравнения 3.191, т.е. $$R_{abcd} = \frac{R}{d(d-1)}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc})$$ Если вам вручают метрику, это, в принципе, должно быть простым расчетом. Если метрика на самом деле максимально симметрична, вычисление тензора Римана обычно оказывается проще, чем обычно, особенно если использовать высокотехнологичный метод вроде формализма Картана с вильбейнами и спиновыми связями (см. Приложение J Кэрролла).
2. Найдите максимальное количество векторов Киллинга. Для многообразия размерностью$d$, он допускает максимум$\frac12 d(d+1)$Векторы убийства (они объясняются в разделе 3.8 Кэрролла). Этот метод обычно проще, если вы хорошо понимаете, что такое изометрия метрики, и можете в основном угадать все векторы Киллинга. Например, в плоском пространстве Минковского совершенно очевидно, что повышения, повороты и переводы — все это симметрии метрики. Таким образом, вы записываете векторы, соответствующие течению в направлении этих преобразований, и можете легко проверить, что они удовлетворяют уравнению Киллинга,$\nabla_{(a}\xi_{b)}=0$, или же$£_\xi g_{ab}=0$, куда$\xi^a$вектор Киллинга.

На практике построить максимально симметричные пространства проще, чем кажется. Как правило, вы начинаете с коллектора$\mathbb{R}^{n,m}$с плоской метрикой подписи$(n,m)$(т.е. существует n пространственноподобных координат с$+dx_i^2$вклад в линейный элемент и$m$координирует с$-dy_j^2$вклад). Достаточно просто доказать, что это максимально симметрично. Затем вы определяете подмногообразие$\mathcal{S}$как геометрическое место точек, находящихся на некотором фиксированном расстоянии от начала координат. Например, если мы начали с$\mathbb{R}^{3,0}$, который является просто евклидовым$3$-пространство, мы говорим$\mathcal{S}$это множество всех точек таких, что

$$x^2+y^2+z^2=r_0^2$$ для некоторого фиксированного радиуса $r_0$. Это, конечно, определяет 2-сферу, которая является максимально симметричным пространством на одно измерение меньше, чем $\mathbb{R}^{3,0}$. Из этой конструкции можно сделать вывод, что подмногообразие $\mathcal{S}$будет максимально симметричным, потому что мы нарушили полную группу изометрий $\mathbb{R}^{n,m}$вниз в те, которые оставляют начало координат фиксированным. Итак, мы начали с $\frac12 d(d+1)$изометрии ( $d=n+m$), и потерял все переводы, коих есть $d$, поэтому нам остается $\frac12 d(d+1)-d = \frac12(d-1)d$изометрии, что является максимальным числом для $d-1$Габаритные размеры.

Поскольку вы спросили о четырехмерном максимально симметричном пространстве-времени, вы можете сделать в основном три вещи. Тривиальное — это просто пространство Минковского,$\mathbb{R}^{3,1}$. Следующее, что мы можем сделать, это начать с пятимерного пространства Минковского,$\mathbb{R}^{4,1}$, и выберите все точки, которые находятся на фиксированном пространственном расстоянии от начала координат,

$$x^2+y^2+z^2+w^2-t^2 = r_0^2$$ (здесь $(x,y,z,w)$пространственные координаты). Индуцированная метрика на подмногообразии есть пространство де Ситтера, $dS_4$, четырехмерное пространство-время с постоянной положительной кривизной.

Наконец, вы можете начать с$\mathbb{R}^{3,2}$Евклидово пространство с$3$пространственноподобные направления$(x,y,z)$а также$2$времениподобные направления$(t_1,t_2)$. На этот раз мы рассматриваем все точки, находящиеся на фиксированном времениподобном расстоянии от начала координат,

$$x^2+y^2+z^2-t_1^2-t_2^2=-r_0^2$$ Индуцированная метрика для этого подмногообразия является пространством анти-де Ситтера, $AdS_4$, которое представляет собой четырехмерное пространство-время отрицательной постоянной кривизны.

Локально я считаю, что любое максимально симметричное пространство будет выглядеть как одно из пространств, построенных с использованием этой техники вложения. Однако в некоторых случаях могут существовать нетривиальные топологические особенности, из-за которых максимально симметричное пространство отличается от вложенных многообразий, которые мы только что построили. Один пример для$AdS_4$: как бы то ни было, построенное нами многообразие имеет замкнутые времениподобные кривые (возникающие$t_1$-$t_2$самолет). Их можно удалить, «размотав направление времени», что математически означает, что мы переходим к односвязному универсальному покрытию, которое топологически отличается от$AdS_4$мы только что построили, но локально выглядит точно так же.