Что такое спонтанное нарушение симметрии в квантовых системах?

Я только что обнаружил этот очень интересный сайт через домашнюю страницу профессора Вена. Спасибо, профессор Вен, за очень интересный вопрос. Вот мой предварительный "ответ":

Спонтанное нарушение симметрии в основном состоянии квантовой системы можно определить как дальнодействующую запутанность между любыми двумя удаленными точками в этой системе в любом основном состоянии, которое сохраняет глобальные симметрии системы.

Чтобы быть более точным, обозначьте$G$как группу симметрии системы и$|\Psi\rangle$основное состояние, которое несет 1d представление$G$. Для изинговского ферромагнетика основное состояние будет$|\Psi_\pm\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\text{all up}\rangle \pm |\text{all down}\rangle\right)$. Затем рассмотрим две точки 1 и 2, разделенные расстоянием$R$в пространстве, и два маленьких шарика вокруг точек 1 и 2 с радиусом$r\ll R$, обозначаемый$B_1$а также$B_2$. Определять$\rho_1$,$\rho_2$а также$\rho_{12}$как приведенные матрицы плотности области$B_1$,$B_2$а также$B_1+B_2$, и соответственно энтропия$S_{1}=-tr(\rho_1\log \rho_1)$(и аналогично для$2$а также$12$). Взаимная информация между двумя областями определяется как$I_{12}=S_1+S_2-S_{12}$. Если$I_{12}> 0$в$R\rightarrow \infty$предел для всех симметричных основных состояний, система рассматривается как находящаяся в состоянии спонтанного нарушения симметрии.

На примере Ising FM,$S_{12}=\log 2$для обоих основных состояний$|\Psi_\pm\rangle$.

Боюсь, это просто перефразировка ODLRO, но это может быть альтернативный взгляд на спонтанное нарушение симметрии.

Этот вопрос, заданный профессором Вэнь, настолько глубокий, что я поторопился с ответом. Как бы ни был мотивирован проницательный ответ Джимми, я в конце концов решил присоединиться к обсуждению и поделиться своими незрелыми идеями.

1) Квантовая SSB – это нелинейная квантовая динамика, выходящая за рамки описания уравнения Шордингера.

Что касается модели Изинга с поперечным полем, упомянутой в комментариях к вопросу, с небольшим полем B основным состоянием является состояние кошки Шординга. Спрашивая, как происходит SSB в$B\to 0$limit — это то же самое, что спрашивать, как кошачье состояние коллапсирует до определенного состояния жизни или смерти. Ключевую роль здесь играет квантовая декогеренция. Однако квантовая декогеренция представляет собой необратимую динамику с производством энтропии, которая, я считаю, не может быть описана линейной динамикой квантовой механики, сохраняющей энтропию. Чтобы понять квантовый SSB, нам, возможно, придется сначала понять динамику квантовой декогеренции.

2) Квантовая SSB является результатом перенормировки информации, которая может быть описана тензорной сетью RG.

Ключом к пониманию квантовой декогеренции является понимание того, как была произведена энтропия. Долгое время оставалось загадкой, каково происхождение энтропии? Пока Шеннон не связал энтропию с информацией, мы начали понимать, что энтропия возникает из-за потери информации. Информация в экспериментах неизбежно теряется, потому что мы можем собирать и обрабатывать только конечное количество данных. Поскольку все эксперименты проводятся в конечной шкале энергии и информации (или энтропии), поэтому для физиков имеет смысл только эффективная теория с низкой энергией и низкой информацией. Техника ренормализационной группы (РГ) была разработана для успешного получения низкоэнергетической эффективной теории. Теперь нам нужно разработать информационную РГ, чтобы получить малоинформационную эффективную теорию. DMRG и тензорная сетевая RG, разработанные в последние годы, действительно являются примерами информационной RG. Квантовая информация теряется из-за усечения матрицы плотности, и одновременно создается энтропия, что делает возможными квантовую декогеренцию и квантовый SSB. На самом деле квантовый SSB можно наблюдать как в DMRG, так и в тензорной сети RG, насколько мне известно. В соответствии с этим направлением мысли квантовый SSB является не конечным состоянием временной эволюции в рамках линейной квантовой динамики, а фиксированной точкой информационного РГ квантового состояния многих тел, которое является нелинейным и выходит за рамки нашего нынешнего понимания квантовой теории из учебника. механика. Насколько я знаю, квантовый SSB можно наблюдать как в DMRG, так и в тензорной сети RG. В соответствии с этим направлением мысли квантовый SSB является не конечным состоянием временной эволюции в рамках линейной квантовой динамики, а фиксированной точкой информационного РГ квантового состояния многих тел, которое является нелинейным и выходит за рамки нашего нынешнего понимания квантовой теории из учебника. механика. Насколько я знаю, квантовый SSB можно наблюдать как в DMRG, так и в тензорной сети RG. В соответствии с этим направлением мысли квантовый SSB является не конечным состоянием временной эволюции в рамках линейной квантовой динамики, а фиксированной точкой информационного РГ квантового состояния многих тел, которое является нелинейным и выходит за рамки нашего нынешнего понимания квантовой теории из учебника. механика.

Бей Цзэн и я написали статью http://arxiv.org/abs/1406.5090 , в которой рассматривается этот вопрос:

Фаза нарушения симметрии для конечной группы G представляет собой эквивалентный класс gLU, образованный симметричными состояниями многих тел, имеющими запутанность GHZ.

Другими словами, фаза нарушения симметрии представляет собой набор

1. симметричные состояния$U_g \Psi = \Psi$до фазы,$g \in G$, а также
2. эти симметричные состояния имеют одинаковую запутанность в ГГц$\Psi = \sum_\alpha \Psi_\alpha ,\ \ \alpha \in G/H,\ \ H\ \subset G$, куда$\Psi_\alpha$локально различимы.

Мы говорим, что эти симметричные состояния эквивалентны. Набор эквивалентных симметричных состояний является фазой нарушения симметрии.

Таким образом , нарушение симметрии = запутанность GHZ , которые классифицируются парами$(G , H),\ H \subset G$.

Точнее:

1. Симметричное состояние многих тел со спонтанным нарушением симметрии подразумевает, что состояние имеет запутанность GHZ.

2. Можно обнаружить спонтанное нарушение симметрии в симметричном многочастичном состоянии, даже не зная параметра группы и/или порядка симметрии. Можно обнаружить спонтанное нарушение симметрии в симметричном состоянии многих тел, используя только зонды, которые соблюдают симметрию.

3. Симметричное точное основное состояние общего симметричного гамильтониана имеет спонтанное нарушение симметрии тогда и только тогда, когда оно имеет GHZ-запутанность.

Я уверен, что профессор Вэнь прекрасно понимает этот вопрос и публикует его только для того, чтобы вызвать дискуссии. Так что я просто собираюсь идти вперед и дать свои 2 цента.

Классическое спонтанное нарушение симметрии происходит, когда классическое основное состояние нарушает симметрию гамильтониана. Например, для классической модели Изинга в 1D спонтанное намагничивание в определенном направлении происходит при низких T, что нарушает$S\rightarrow-S$симметрия гамильтониана.

Квантовое спонтанное нарушение симметрии не обязательно означает, что квантовое основное состояние нарушает симметрию гамильтониана; вместо этого он подписывается расщеплением вырождения основного состояния. Скажем, в случае поперечной модели Изинга,$H=-\sum{S_i^z S_j^z}-B\sum{S_i^x}$. Основное состояние гамильтониана для очень малых$B$представляет собой суперпозицию всех спинов вверх и всех спинов вниз, которая по-прежнему имеет$S_z\rightarrow -S_z$симметрия; но теперь вырождение основного состояния утрачено --- основное состояние теперь уникально, а не двукратное вырождение.

Это всего лишь предварительный ответ, поэтому, пожалуйста, не стесняйтесь исправлять меня/улучшать ответ.

Я думаю, что один из способов визуализировать спонтанное нарушение симметрии в квантовых системах заключается в следующем:

Гильбертово пространство теории бесконечномерно. Для заданного гамильтониана одним из методов поиска приближенных решений его спектра является формулировка вариационного принципа относительно конечномерного гильбертова пространства пробных функций.

Во многих случаях, когда имеется непрерывная группа симметрии$G$гамильтониана, многообразие пробных функций может быть выбрано как однородная симплектическая$G$-пространство, из которого следует, что (алгебра Ли ) группа симметрии порождает все наблюдаемые, а приближенный гамильтониан является некоторым элементом универсальной обертывающей алгебры.

На этих типах многообразий квантовая и классическая динамика очень похожи и предлагают простую связь между классической и квантовой картиной спонтанного нарушения симметрии;

В явном виде, когда (приближенный) классический гамильтониан на многообразии пробной функции достигает минимума при отличном от нуля среднем значении некоторой образующей, вакуум квантового гамильтониана при квантовании этого многообразия становится вырожденным.

Одно возможное понимание SSB в квантовых системах может быть следующим: все мы знаем, что классически существует многообразие основного состояния, и можно выбрать размещение основного состояния в одной точке, что нарушает симметрию. Однако в квантовых системах благодаря принципу суперпозиции можно образовывать линейные комбинации, восстанавливающие симметрию. Однако SSB означает, что для низкоэнергетических состояний существует определенный базис (которые являются «классическими» состояниями), так что, если посмотреть на матричные элементы локальных физических операторов (операторов с локальной поддержкой) между различными базисами состояний они всегда обращаются в нуль в термодинамическом пределе. Это может обеспечить квантовую характеристику SSB, хотя я не совсем уверен, что этого достаточно и необходимо.

Очевидно, что в приведенном выше определении есть некоторая махинация, поскольку речь идет о «базисе» только для низкоэнергетических состояний. Но я по-прежнему нахожу это полезным способом понимания SSB.

Способ изучения квантовой системы, который очень похож на обсуждение в классической физике, состоит в том, чтобы использовать (квантовое) эффективное действие: вычислить статистическую сумму$Z[B]$в зависимости от внешнего поля. затем$\beta\log(Z)$это свободная энергия$F$а также$\partial F/\partial B$намагниченность$m$. Теперь выполните преобразование Лежандра, чтобы получить квантово-эффективное действие.$\Gamma[m]$. Затем мы ищем эффективное действие, имеющее форму логотипа физического стекового обмена (с обычной оговоркой, что, строго говоря, эффективное действие всегда выпукло).

Лучший ответ, который я придумал, это arXiv:1205.4773v1.

Спонтанное нарушение симметрии в нерелятивистской квантовой механике

Р. Муньос, А. Гарсия-Кирос, Эрнесто Лопес-Чавес, Энкарнасьон Салинас-Эрнандес

The advantages and disadvantages of some pedagogical non-relativistic
quantum-mechanical models, used to illustrate spontaneous symmetry breakdown,
are discussed. A simple quantum-mechanical toy model (a spinor on the line,
subject to a magnetostatic interaction) is presented, that exhibits the
spontaneous breakdown of an internal symmetry. 

Комментарии: 19 страниц, 5 рисунков. Примечание администратора arXiv: существенное совпадение текста с arXiv:1111.1213

Поскольку SSB вызывает или соответствует существованию сколь угодно дальнего порядка при пространственноподобном разделении, это может быть понято с точки зрения нарушения кластерного разложения. Таким образом, SSB соответствует существованию множества вакуумных векторов в гильбертовом пространстве, которое инвариантно относительно действия полевых операторов (в рамках аксиоматического подхода Вайтмана часть доказательства теоремы реконструкции Вайтмана состоит в том, чтобы показать, что кластерное разложение , свойство ВЭВ, эквивалентно приводимости гильбертова пространства).

Всякий раз, когда наблюдаемые теории являются нетривиальным подмножеством множества операторов, которые могут быть построены из операторов поля, обычно потому, что наблюдаемые должны быть инвариантными под действием некоторой симметрии, вакуумное состояние будет редуцируемым под действием наблюдаемых, и будет нарушение кластерной декомпозиции.

Кластерная декомпозиция в значительной степени восстанавливается введением калибровочных полей (которые, как я считаю, не являются частью SSB, хотя, конечно, можно было бы включить в SSB введение калибровочных полей). Мне не ясно, полностью ли восстанавливается кластерная декомпозиция введением калибровочных полей.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Это для меня умеренно интуитивно, но, сосредоточившись на вашем последнем абзаце, я думаю, что большинству людей это не покажется наглядным --- и для меня это лишь немного наглядным. Я полагаю, что это в основном зависит от алгебраической интуиции.

Аналог - суперселекция секторов. Если преобразование симметрии, действующее на квантовое состояние, переводит его в другое состояние суперотбора, мы говорим, что рассматриваемая симметрия спонтанно нарушена.

Ответ в декогеренции. для классических систем, если подсистема нарушает симметрию, система в целом также нарушает симметрию. не так в квантовой механике из-за запутанности. здесь кроется сложность.

подумайте о состояниях указателя zurek. в этом ключ. Я могу дать вам квантовое состояние многих тел, которое буквально инвариантно относительно рассматриваемой симметрии, но если оно распадается на декогерентные состояния указателя, которые не являются инвариантными, не стесняйтесь говорить, что симметрия спонтанно нарушена? но анализ Журека работает только для открытых систем.

может ли это работать для конечных закрытых систем? к сожалению, нет из-за рецидивов Пуанкаре. мы могли бы наивно думать, что симметрия спонтанно нарушена, но подождем достаточно долго, и небольшие (или не очень) различия в энергии между различными собственными значениями энергии, соответствующими разным невозвратам, приведут к размытию разностей фаз в собственных состояниях энергии, несущих информацию о нарушении симметрии. .

каковы состояния указателя zurek? те, которые сохраняют информацию дольше всего во времени, сводя к минимуму динамическую генерацию запутанности с окружающей средой. иногда состояние указателя, инвариантное относительно симметрии, будет создавать большую запутанность со средой, чем неинвариантное.

осложнений предостаточно. возьмем набор атомов гелия-4 при низкой температуре. сверхтекущая фаза. u(1) симметрия, соответствующая количеству атомов He-4. поместите атомы в очень герметичный ящик, куда не может пройти ни один атом He-4, но может пройти информация. идеализированный, да, но потерпите меня. квантовое состояние с фиксированным конкретным значением числа атомов He-4. инвариант относительно u(1)? какие состояния указателя? к сожалению, не конденсатные состояния с суперпозицией по числу атомов ге-4? но динамическая генерация внешней запутанности в любом случае остается небольшой: фиксированное число атомов и конденсат. просто в течение очень длительных периодов времени фиксированный номер атома имеет немного большую запутанность. потому что будут доминировать динамические процессы, чувствительные к общему числу атомов He-4, но только из-за абсолютного подавления проницаемости. нереально, нет?

но расслабься. сделать коробку слегка проницаемой. просто позвольте только одному или двум атомам He-4 пройти через относительно долгое время. вуаля? изменения состояния указателя в пользу конденсатов? еще не запутался? количество атомов He-4 в окружении находится в суперпозиции, запутанной с количеством атомов He-4 в ящике. ОКРУЖЕНИЕ!!! симметрия должна быть нарушена в окружающей среде , а не в системе.

а как же вселенная в целом? у него нет внешней среды. ааа, но в квантовой гравитации нет глобальных симметрий. хорошо, а как насчет калибровочных симметрий тогда. о боже, еще одна огромная банка червей. Что такое спонтанное нарушение симметрии в системах QUANTUM GAUGE? стоит еще один вопрос.

Этот вопрос, по-видимому, основан на ложной предпосылке, а именно, что классически нелинейные системы линейны при квантовании. На самом деле, как правило, бывает наоборот. Например, уравнения Максвелла в вакууме точно линейны, но в КЭД присутствует нелинейность из-за взаимодействий, опосредованных электронными петлями.

Квантовая механика линейна на уровне уравнения Шрёдингера. Если интерпретировать волновую функцию как квантовый аналог распределения вероятностей, то классическая механика также является линейной на этом уровне. Например, если система находится в состоянии$A_i$с вероятностью$p_i$для всех$i$, и шанс, что он будет развиваться из$A_i$к$B$является$q_i$, то шанс, что он окажется в состоянии$B$является$\sum_i p_i q_i$. В классическом случае между альтернативами не может быть нелинейного взаимодействия, потому что на самом деле происходит только одна из них. Квантовая механика сохраняет эту линейность, хотя ее оправдание с точки зрения лежащей в основе классической реальности больше не работает.

Классически, если вы начнете с однородного (или, по крайней мере, симметричного) распределения по микросостояниям жидкости и позволите ей кристаллизоваться, вы получите симметричное распределение по всем возможным ориентациям полученного кристалла. В каком-то смысле система по-прежнему симметрична, если принять «систему» ​​за это распределение вероятностей, но никто в мире не может увидеть эту симметрию; они видят только одну конкретную ориентацию кристалла. В КМ происходит то же самое.