Как строго доказать, что состояние суперпозиции нестабильно в случае спонтанного нарушения симметрии

1.

Ключевой момент, который вы упускаете из виду, заключается в том, что спонтанное нарушение симметрии или вообще понятие фазовых переходов работает только для систем с локальными взаимодействиями. Фазовый переход определяется как точка в пространстве параметров Гамильтона, в которой плотность свободной энергии становится неаналитической в ​​пределе бесконечных размеров. Это определение, очевидно, предполагает существование вполне определенного бесконечносистемного предела плотности свободной энергии. Но для трансляционно-инвариантных решетчатых систем, таких как модель Изинга, плотность свободной энергии приближается к постоянному значению только как$N \to \infty$если$\sum_j J_{ij}$сходится абсолютно, что примерно означает, что$|J_{ij}|$должен упасть быстрее, чем$1/r^d$, куда$d$это количество измерений. Другими словами, связи должны быть достаточно локальными.

(Эксперты могут возразить, что в неупорядоченных системах с нелокальными всеобщими связями, такими как модели Шеррингтона-Киркпатрика или SYK, все еще есть фазовые переходы, нарушающие симметрию реплики. Но на самом деле это верно только в том случае, если вы перемасштабируете константы связи как степень общий размер системы, что не очень физически.Если вы этого не сделаете, то фазовый переход исчезнет, ​​и действительно$N \to \infty$предел становится нечетким. Реальные системы никогда не бывают полностью связанными друг с другом — на практике существует некоторое максимальное расстояние, на котором связи исчезают, и модели, связанные со всеми, являются просто удобным приближением.)

Любое предполагаемое объяснение спонтанного нарушения симметрии, которое явно не использует локальность, в лучшем случае серьезно неполно. Декогеренция слишком сложна для объяснения здесь, но ключевое допущение состоит в том, что взаимодействия локальны в пространстве, что выделяет базис положения как естественно предпочтительный базис указателя, так что положения, близкие к собственным состояниям, более естественны, чем, скажем, импульсы, близкие к собственным. собственные состояния.

2. и 3.

Локальность системы и, в частности, предположение о том, что все возмущения локальны, дает нам понятие «расстояния» между двумя состояниями, которое более полезно, чем простая ортогональность. Как вы указываете, ортогональность/внутренние произведения сами по себе не могут различить два состояния, которые отличаются только одним спином, и два состояния, которые отличаются всеми своими спинами, хотя последняя пара явно в некотором смысле «более различна», чем бывший.

Вы, конечно, правы, что$\langle i | A | j \rangle = 0$для любых двух различных собственных состояний любого эрмитова оператора, а не только гамильтониана. Но этот простой матричный элемент не является правильным определением «амплитуды туннелирования». Насколько я знаю, фактическое определение немного расплывчато, и концепция больше похожа на искусство, чем на науку, но вот две возможные концепции:

а) Вы можете думать о члене, нарушающем симметрию, как о возмущении и разложить гамильтониан как$H = H_0 + \Delta H$, куда$H_0$соблюдать симметрию и$\Delta H$ломает его. Тогда теория возмущений говорит нам, что все пертурбативные поправки могут быть выражены через матричные элементы$\langle i_0 | \Delta H | j_0 \rangle$куда$\langle i_0|$а также$|j_0\rangle$являются собственными состояниями невозмущенного гамильтониана$H_0$, а не точный гамильтониан. Эти матричные элементы обычно отличны от нуля.

б) Мне не нравится теория возмущений, поэтому я предпочитаю думать о ней по аналогии с Монте-Карло. Окружающая среда постоянно пытается воздействовать на систему случайными небольшими локальными возмущениями, нарушающими симметрию. Вы можете думать об этом, как если бы$h = 0$в полном гамильтониане, но$h_i \sigma_i^x$термины случайным образом на мгновение появляются на отдельных сайтах$i$(или аналогичные термины для небольших локальных кластеров сайтов). Это похоже на переворот спина-кандидата Монте-Карло, и при низкой температуре они обычно принимаются, только если они снижают общую энергию системы. Для небольшой системы, которая запускается во все$\uparrow$В этом случае вам может повезти, и вы примете достаточно подбрасываний, чтобы в итоге получить большинство.$\downarrow$состояния, и в этот момент вы, вероятно, перейдете ко всем-$\downarrow$- хотя каждый из этих первых нескольких отдельных бросков был маловероятным. Но для того, чтобы перевернуть более половины системы, вам изначально должно повезти много (независимых) раз подряд, и шансы на то, что это произойдет, экспоненциально уменьшаются с размером системы. «Амплитуда туннелирования» — это, по сути, вероятность того, что это произойдет после многих разверток по методу Монте-Карло, и она действительно экспоненциально уменьшается с размером системы. Для небольшой системы вы в конечном итоге переключитесь на другое основное состояние, хотя это займет очень много времени. Для большой системы это займет очень много времени, а для бесконечной системы она никогда не доберется до конца.

Если эта аналогия на ваш вкус слишком классическая, вы можете вместо этого думать о пространстве случайных квантовых цепей, с цепями, взвешенными в соответствии с функцией стоимости, которая зависит от матричных элементов Гамильтона, а «амплитуда туннелирования» между двумя квантовыми состояниями подобна общий вес всех случайных схем, переводящих одно состояние в другое.

4.

Вы правы, что любое конечное значение$h$нарушает симметрию. Для любой системы, даже бесконечной, есть$m(h) \neq 0$если$h > 0$. Но как насчет предела$h \to 0^+$? Одним из определений SSB является нарушение пределов$h \to 0^+$а также$N \to \infty$смягчить. В фазе SSB, после того, как вы примете$N \to \infty$, у тебя есть это$m(h)$имеет разрыв скачка в$h = 0$, чтобы$m(0) = 0$но$\lim \limits_{h \to 0^+} m(h) > 0$. Именно это мы имеем в виду, когда говорим, что бесконечно малое возмущение$h$нарушает симметрию.

Уже есть несколько хороших ответов, но я дам физический, конкретный ответ для тех, кто спешит.

Вопрос, который я затрону,

Почему состояния кошки (например, состояния GHZ) физически нестабильны?

Ответ

Потому что обычное взаимодействие с окружающей средой, каким бы малым оно ни было, разрушит/декогерентизирует такие состояния.

Например, рассмотрим обычную цепочку Изинга, в которой один спин взаимодействует с одним спином в окружающей среде:

$$H = - \left( \sum_{n=1}^{N-1} \sigma^z_n \sigma^z_{n+1} \right) - \varepsilon \; \sigma^z_1 \sigma^z_\textrm{env} \qquad (\textrm{with }\varepsilon >0).$$

Основные состояния состояния кошки будут

$$|\Psi_\pm \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow_1 \uparrow_2 \cdots \uparrow_N \uparrow_\textrm{env} \rangle \pm |\downarrow_1 \downarrow_2 \cdots \downarrow_N \downarrow_\textrm{env} \rangle \right).$$ Предположим, что у нас нет (когерентного) контроля/знания об окружающей среде, наше эффективное описание будет $$\rho_\textrm{system} = \textrm{Tr}_{\textrm{env}} \left( |\Psi_\pm\rangle \langle \Psi_\pm | \right) = \frac{1}{2} \left( \rho_+ + \rho_- \right),$$ куда$\rho_\pm$- состояния с нарушением симметрии системы (соответствующие$|\uparrow_1 \cdots \uparrow_N\rangle$а также$|\downarrow_1\cdots \downarrow_N\rangle$).

---

NB: Вышеизложенное также объясняет, почему ГХЦ-состояния, являющиеся основными состояниями топологических фермионных цепей (например, цепи Китаева) , стабильны : не существует локального оператора, расщепляющего двумерное гильбертово пространство, в то время как описанная выше причина была такой локальный оператор (т.е.$\sigma^z_1$), с которым может соединяться окружающая среда (последняя функционирует как измерительный прибор).

Проблема в том, что, говоря, например, о модели Изинга с поперечным полем, состояния$\Omega_\pm$со всеми спинами, имеющими спин-$z$-собственное значение$\pm 1$не существуют в одном и том же гильбертовом пространстве в термодинамическом пределе.

Это кажется странным утверждением, поэтому я попытаюсь объяснить его дальше. Работая непосредственно в термодинамическом пределе, мы должны быть осторожны с тем, какие операторы мы разрешаем. Учитывая, что измерительные устройства имеют только конечные размеры, следует учитывать только локальные операторы, т. е. те операторы, которые каким-либо образом затухают на бесконечности (например, экспоненциально или с конечным носителем).

Тогда для всех таких операторов$O$, у нас есть это

$$\langle \Omega_-, O \Omega_+ \rangle = 0.$$

То есть нет оператора, который забирает вас из$\Omega_-$к$\Omega_+$. (Возможно, это связано с этим делом «туннелирования вероятности»). Это, однако, точное определение сектора суперселекции! Следовательно, то, что вы думали, является уникальным симметричным основным состоянием

$$\frac{\Omega_+ + \Omega_-}{\sqrt{2}}$$

является не суперпозицией, а фактически статистической смесью двух состояний с нарушенной симметрией.