Действительно ли Дирак пытался извлечь квадратный корень из оператора Клейна-Гордона?

Обычно говорят об операторе Дирака как о квадратном корне из лапласиана (или далембертиана, в зависимости от случая), и сам Дирак скорее поддерживает эту эвристику в своих « Воспоминаниях о захватывающей эпохе» , «История физики двадцатого века» , Academic Press, 1977, стр. 109-146:

Я играл с тремя компонентами$\sigma_1, \sigma_2,\sigma_3,$который я использовал для описания спина электрона, и я заметил, что если составить выражение$\sigma_1p_1+\sigma_2p_2+\sigma_3p_3$и возвел его в квадрат,$p_1$,$p_2$и$p_3$будучи тремя компонентами импульса, вы получили просто$\smash{p_1^2+p_2^2+p_3^2}$, квадрат импульса ( ¹ ). Это был довольно математический результат. Я был очень взволнован этим. Казалось, что это должно иметь какое-то значение. (...)

Я вдруг понял, что нет необходимости придерживаться количества$\sigma$, которые могут быть представлены матрицами всего с двумя строками и столбцами. Почему бы не перейти к четырем строкам и столбцам? Математически против этого вообще не было никаких возражений. Замена$\sigma$-матрицы матрицами с четырьмя строками и столбцами, можно было бы легко извлечь квадратный корень из суммы четырех квадратов или даже пяти квадратов, если бы захотелось.

Соответственно, как я уверен, хорошо известно, в « Принципах квантовой механики» (4-е изд., §67; было бы интересно сравнить первое издание 1930 г., которого я не могу найти в Интернете) он начинает с «релятивистского гамильтониана [что] приводит к волновому уравнению

$$\{p_0 - (m^2c^2+p_1^2+p_2^2+p_3^2)^{\frac12}\}\psi=0, \tag5$$ где $p$интерпретируются как операторы в соответствии с [ $p_\mu=i\hbar\partial/\partial x^\mu$]», затем умножает на сопряженное, чтобы получить $$\{p_0^2 - m^2c^2-p_1^2-p_2^2-p_3^2\}\psi=0, \tag6$$ а затем ищет «волновое уравнение, линейное по $p_0$и это примерно эквивалентно (6)” в форме $$\{p_0 - \alpha_1p_1-\alpha_2p_2-\alpha_3p_3 -\beta\}\psi=0, \tag7$$ что как раз и приводит его к проблеме «квадратный корень из суммы четырех квадратов».

---

( ¹ ) Тождество, найденное явно, с $p_r=-i\partial/\partial x_r$, в цитируемой вами статье 1928 года (нижняя часть стр. 618, случай$\mathbf A=0$).

Редактировать: первое издание Дирака (1930 г.) теперь находится в сети, и его §74 уже имеет точно такое же развитие, как и выше (но с минимальными различиями в обозначениях).

Дирак был прежде всего математиком, которому нравилась красота математики. Это одна из причин, по которой он возражал против уродства теорий перенормировки. Вы должны прочитать Pretty Mathematics International Journal of Theoretical Physics, Vol. 21, Nos. 8//9, 1982 г., где он по существу объясняет, что играл с матрицами 2X2, цитируя его

Полученное волновое уравнение для электрона оказалось очень удачным. Это привело к правильным значениям спина и магнитного момента. Это было довольно неожиданно. Вся работа следовала за изучением красивой математики, без какой-либо мысли об этих физических свойствах электрона.

Однако такие статьи в значительной степени игнорируются физиками в этой области.