Диффеоморфизмы, изометрии и общая теория относительности

Извиняюсь, если этот вопрос слишком наивен, но он затрагивает самое сердце того, что беспокоило меня какое-то время.

При диффеоморфизме ф мы можем выдвинуть произвольное тензорное поле Ф к ф * Ф . Верно ли следующее утверждение?

Если п является точкой многообразия, то Ф в п равно ф * Ф в ф ( п ) , так как они связаны законом преобразования тензоров, а тензоры не зависят от выбора координат. ()

У меня есть ощущение, что я упускаю здесь что-то важное, потому что это, казалось бы, предполагает, что диффеоморфизмы вообще были изометриями (что, как я знаю, неверно). (*)

Однако, если утверждение неверно, тогда это означает, что физические наблюдаемые, такие как электромагнитный тензор Ф мю ν не будет инвариантным относительно диффеоморфизмов (которыми они должны быть, потому что диффеоморфизмы являются калибровочной симметрией нашей теории). На самом деле самое время т даже не будет инвариантным, если у нас нет изометрии!

Что мне здесь не хватает? Ведь именно изометрии, а не диффеоморфизмы являются калибровочными симметриями?! Спасибо заранее.

Общие диффеоморфизмы не являются изометриями; только диффеоморфизм, при котором значения метрического тензора инвариантны в каждой точке, по определению является изометрией. Однако правила преобразования тензорных полей задаются одной и той же универсальной формулой, которая работает практически одинаково независимо от того, является ли диффеоморфизм изометрией или нет. Единственная разница между изометрией и неизометрией состоит в том, что определенное тензорное поле, метрическое тензорное поле, является или не является инвариантным. В ОТО все диффеоморфизмы (или тривиальные на бесконечности) образуют калибровочную группу (или ее часть).
@LubošMotl - Спасибо за ваш комментарий! Я уже понимаю разницу между изометриями и диффеоморфизмами. Моя проблема в том, что общий диффеоморфизм не сохраняет метрику, поэтому не обязательно сохраняет правильное время между событиями. Но собственное время — это наблюдаемая величина, не зависящая от системы отсчета! Как же мы можем говорить, что диффеоморфизмы являются калибровочной симметрией, если они изменяют физическую величину?!
Собственное время не зависит от координат. Хотя верно то, что изменение координат изменяет компоненты метрики, интеграл собственного времени по времениподобному пути между двумя точками пространства-времени будет иметь одинаковое значение в обеих системах координат.
@sjasonw: я не говорю о преобразовании координат, я говорю о диффеоморфизме. Диффеоморфизм действительно изменит саму метрику, а не только ее компоненты. Компоненты метрики вообще не имеют физического значения, потому что приходится выбирать систему координат, чтобы о них говорить.
Извините за мое замешательство. Конечно, преобразования координат являются локальными диффеоморфизмами р н так что мой комментарий может оказаться не бесполезным... Рассмотрим следующее. Предположим, у меня есть времениподобный путь γ между точками а а также б . Тогда я могу использовать диффеоморфизм ф получить новый путь ф ∘ γ . Я думаю, что правильное время этого нового пути оценивается с помощью ф ⋆ грамм будет таким же, как исходное собственное время.
«Как мы можем говорить, что диффеоморфизмы являются калибровочной симметрией, если они изменяют физическую величину?» они являются калибровочной симметрией в том смысле, что они сохраняют наблюдаемые Дирака . Однако для группы Диффа эти наблюдаемые довольно ограничены — например, интегралы от различных сжатий произведений тензора Римана на самого себя.
@sjasonw - но разве то, что вы говорите, верно только для изометрий?
@sjasonw - возможно, это верно и для геодезических, но не для общих времениподобных кривых. Это как бы намекает. Возможно, собственное время инвариантно только для геодезических. Это физически разумно?
@EdwardHughes На самом деле, если ( М , грамм ) это пространство-время, Н является многообразием, и ф : М → Н является диффеоморфизмом, то ф является изометрией между ( М , грамм ) а также ( Н , ф ⋆ грамм ) . Так может это поможет? Кроме того, я не думаю, что разумно, что это может быть верно только для геодезических: произвольные времениподобные кривые строятся из бесконечно малых геодезических.
@sjasonw Нет, нет ф только изометрия, если ф * грамм знак равно грамм ?
@EdwardHughes То, что вы сказали, верно, если мы говорим об изометрии между ( М , грамм ) и себя. Я говорил об изометрии между ( М , грамм ) и другое пространство-время ( Н , ф ⋆ грамм ) (ты можешь взять М знак равно Н если ты хочешь).
@sjasonw Ах да, значит, в моем исходном посте нет противоречия, потому что диффеоморфизм, естественно, является изометрией пространства с выдвинутой вперед метрикой? Если это так, и вы хотите написать свои комментарии в качестве ответа, я был бы рад проголосовать и принять! Большое спасибо!
@sjasonw Чтобы быть более конкретным, правильно ли я делаю вывод, что утверждение ( ) верно, но вывод (* ) ошибочен в моем ОП? Я думаю, что ваш комментарий подразумевает:)
Что ж, я думаю, это утверждение правильное, но сказать, что тензор в п равен единице в ф ( п ) не очень понятно. Как вы знаете, касательные пространства в разных точках естественно не изоморфны, поэтому нет смысла «равно». Однако мы можем использовать то, о чем говорили выше: диффеоморфизм ф индуцирует изоморфизм между Т п М а также Т ф ( п ) М . Тогда мы точно можем сказать, что Ф ( п ) а также ф ⋆ Ф ( ф ( п ) ) равны". Думаю, я добавлю это в ответ.

Ответы (1)

Если p — точка многообразия, то F в p равно ϕ∗F в ϕ(p), так как они связаны законом тензорного преобразования, а тензоры не зависят от выбора координат.

Это примерно так. Изначально бессмысленно говорить, что тензоры в разных касательных пространствах равны. Однако диффеоморфизм индуцирует изоморфизм между Т п М а также Т ф ( п ) М (изоморфизм - это не что иное, как вектор, выдвинутый вперед). Два тензора равны относительно этого изоморфизма.

У меня такое чувство, что я упускаю здесь что-то важное, потому что это, казалось бы, предполагает, что диффеоморфизмы вообще были изометриями...

Это действительно верно в определенном смысле. Если ( М , грамм ) это пространство-время и ф е разница ( М ) , то пока нет оснований думать, что ф является изометрией между ( М , грамм ) и сам, ф всегда является изометрией между ( М , грамм ) а также ( М , ф ⋆ грамм ) .

Этот последний пункт избавляет вас от беспокойства о правильном времени. Если γ это нормализованный времениподобный путь между двумя событиями а а также б , мы всегда можем рассмотреть ф ∘ γ как времяподобный путь в ( М , ф ⋆ грамм ) . Вы можете проверить, что новый путь нормализован по отношению к новой метрике. ф ⋆ грамм . Области двух путей точно такие же, поэтому собственное время между ф ( а ) а также ф ( б ) совпадает с собственным временем исходного пути.

Диффеоморфизмы, изометрии и общая теория относительности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v