ОТО как калибровочная теория: есть спиновая связь с лоренцевым значением, но как насчет связи с трансляционным значением?

Учитывая группу внутренней симметрии, мы измеряем ее, превращая внешнюю производную в ее ковариантную версию:

Д "=" г + А ,

где А "=" А а Т а является однозначной формой алгебры Ли, известной как связность (или калибровочное поле), и Т генераторы алгебры.

Для ОТО мы хотели бы сделать то же самое с группой Пуанкаре. Но группа Пуанкаре не простая, а распадается на переводы п и преобразования Лоренца Дж . Таким образом, я ожидаю два вида соединений:

Д "=" г + Б а п а + А а б Дж а б .

Но ковариантная производная ОТО, как обычно встречается в учебниках, выглядит так:

∇ мю "=" ∂ мю + 1 2 ( ю α β ) мю Дж α β ,

где ю является спиновой связью. Он определен для любого объекта, который имеет определенное преобразование под Дж , т. е. при преобразованиях Лоренца, таких как спиноры или тензоры. Но он не упоминает генератор перевода п . Что случилось? Разве я не должен иметь это дополнительное калибровочное поле?

Ответы (2)

Можно сделать связность Картана со значениями Пуанкаре-Ли , установив

η "=" т а е * а + 1 2 о а б ю а б
где т а и о а б - генераторы алгебры Ли трансляций и преобразований Лоренца, а е * а "=" е мю а г Икс мю , ю а б "=" ю а б мю г Икс мю ко-реперы и одноформы связности. Затем некоторое использование алгебры Ли Пуанкаре показывает, что кривизна разлагается как
Ф ≡ г η + η ∧ η "=" т а Т а + 1 2 о а б р а б ,
где Т а "=" г е * а + ю а б ∧ е * б это кручение и р а б "=" г ю а б + ю а с ∧ ю с б обычная риманова кривизна. Таким образом, кручение рассматривается как трансляционная часть кривизны.

Люди продолжают делать из этого своего рода калибровочную теорию, но это не обычная калибровочная теория принципа расслоения, и я никогда не понимал, как физические поля становятся секциями связанного пучка. Стандартным справочником является Reviews of Modern Physics Vol 48, no 3 (1976) General Relativity with Spin and Torsion, Foundation and Prospects, FW Hehl, P von de Heyde и GD Kerlick. Лично я нахожу их обозначения непроницаемыми, но, полагаю, это моя ошибка.

Я также нашел ссылку на измерение Пуанкаре, которая показалась мне интересной: arxiv.org/pdf/1502.06539
«Это не обычная калибровочная теория принципа расслоения». Правильно, это точно. Когда я говорю ОТО как калибровочную теорию, я просто имею в виду, что теория построена на связности, которая делает (ранее глобальную) группу симметрии локальной. Я, конечно, не требую, чтобы весь механизм и выводы из обычных калибровочных теорий Янга-Миллса были унаследованы без каких-либо изменений или переинтерпретаций! Во всяком случае, я до сих пор не до конца понимаю роль тетрады е как калибровочное поле трансляций.

В 2 + 1 измерениях общая теория относительности с действием Эйнштейна-Гильберта с космологической постоянной или без нее
эквивалентна калибровочной теории с калибровочной группой один из я С О ( 2 , 1 ) , С О ( 3 , 1 ) или С О ( 2 , 2 ) (в зависимости от наличия космологической постоянной и ее знака) и чистое действие Черна–Саймонса .

Калибровочное поле является формой со значениями в алгебре Ли

А я "=" е я а п а + ю я а Дж а ,
где п а являются генераторами перевода и Дж а "=" 1 2 ϵ а б с Дж б с являются генераторами преобразований Лоренца.

Хорошей ссылкой для этого является статья:

  • Виттен, Э. (1988). 2 + 1 размерная гравитация как точно разрешимая система . Nuclear Physics B, 311(1), 46-78, doi , онлайн pdf .

Эта статья также содержит следующий отрывок о четырехмерном случае:

За последние двадцать лет многие физики хотели объединить е я а и спиновая связь ю я а б в калибровочное поле группы я С О ( г − 1 , 1 ) . Идея состоит в том, что спиновая связность будет калибровочным полем для преобразований Лоренца, а вирбейн будет калибровочным полем для трансляций. Затем кто-то пытается заявить, что «общая теория относительности — это калибровочная теория я С О ( г − 1 , 1 ) ». Однако всегда было что-то надуманное в попытках интерпретировать общую теорию относительности как калибровочную теорию в этом узком смысле. Один из аспектов проблемы состоит в том, что, например, в четырех измерениях действие Эйнштейна (2.2) имеет общий вид ∫ е ∧ е ∧ ( г ю + ю 2 ) . Если мы интерпретируем е и ю как калибровочные поля, мы должны сравнить это с калибровочным действием ∫ А ∧ А ∧ ( г А + А 2 ) . Но в калибровочной теории такого действия нет. Поэтому мы не можем надеяться, что четырехмерная гравитация будет калибровочной теорией в этом смысле.

По поводу перехода из Виттена; Вы получаете только ∫ е ∧ е ∧ ( г ю + ю 2 ) 4 измерения? Я думал, что это просто лагранжиан Эйнштейна-Гильберта, действительный в любых измерениях, не так ли?
@Анон21: Ом "=" г ю + ю ∧ ю является 2-формой. В Д размеры нам нужны Д -форма для интегрирования по многообразию, поэтому число “ е ∧ ” частей в EH лагранжиане есть Д − 2 .
ОТО как калибровочная теория: есть спиновая связь с лоренцевым значением, но как насчет связи с трансляционным значением?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v