Я некоторое время изучал многовекторы и формы и то, как они упрощают многие вещи, которые в простом векторном исчислении кажутся сложными. Единственная проблема до сих пор заключается в том, что в отличие от векторного исчисления я не могу понять, как использовать эти объекты в физике.
Например, я знаю, что -лезвие представляет собой ориентированный кусок -мерное векторное подпространство из векторного пространства, я знаю, что -forms представляет способы «измерения» этих мультивекторов и всего такого, но я просто не знаю, как использовать их на практике, как я узнал в прошлом с скалярным произведением, перекрестным произведением, интеграцией на плоскости. и космос и так далее.
Есть ли какая-нибудь книга, в которой эти вещи показаны в подходящей для физика форме ? Я знаю, что есть много хороших книг для математиков, но они в основном сосредоточены на доказательстве следствий определений, а не на их применении. Я ищу что-то, что показывает, как действительно применять в физике все эти элементы из исчисления на многообразиях.
На самом деле я имею в виду следующее: в большинстве книг по математике по данной теме рассказывается только о том, как доказывать теоремы. И много раз я смотрю экспозицию и думаю, что "это невозможно использовать на практике", в то время как в физике масса интерпретаций и обычаев. Я просто еще не нашел книгу, которая показывает это.
Просто пример того, что я говорю: в электростатике мы начинаем с закона Кулона, который дает нам электрическую силу между двумя зарядами. Отсюда и из принципа суперпозиции мы получаем выражение для электрического поля. Все это делается с помощью векторов, так что когда мы изучаем эти объекты, мы используем дивергенцию, завиток и все эти механизмы векторного исчисления. Кажется простым представить эти вещи в виде векторов, но не кажется очевидным сделать это с формами. В самом деле, я даже не знаю, как записать это в терминах форм, не записывая сначала с помощью векторов, а затем преобразуя с помощью метрики.
РЕДАКТИРОВАТЬ: я в основном ищу ресурсы, которые охватывают эту тему в строках, в которых векторное исчисление кажется в книге Арфкена «Математические методы для физиков» и во вводных главах Гриффита «Введение в электродинамику» и Марион «Классическая динамика частиц и систем». ". Я не знаю, может ли такой ресурс помочь, но я подумал, что это редактирование может сделать мой вопрос более конкретным.
Кайл Канос упомянул геометрическую алгебру для физиков . Хотя геометрическая алгебра несколько отличается в обозначениях от дифференциальных форм, все основные понятия присутствуют, и во многих отношениях геометрическая алгебра избегает некоторых громоздких вещей, которые делают дифференциальные формы (в частности, я имею в виду двойственность Ходжа). Я думаю, что обозначения легче связать с векторным исчислением, чем с дифференциальными формами.
Сама книга представляет собой введение в геометрическую алгебру среднего уровня со значительным упором на приложения. Первые несколько глав посвящены основам: самой алгебре, операциям умножения, линейной алгебре и исчислению многовекторных полей.
Все они необходимы для обсуждаемых приложений. Электродинамика и специальная теория относительности составляют первую основную тему. Показав форму вращения с использованием кватернионоподобных роторов в 3D, в проходах специальной теории относительности хорошо используется аналогичная конструкция для ускорения Лоренца. Также обсуждается электромагнитное поле как бивектор, а также форма уравнений Максвелла с использованием геометрического исчисления и алгебры пространства-времени.
Затем в книге рассматриваются приложения к квантовой механике. Я думаю, что это было главной целью авторов, но для меня этот раздел был значительно менее ясным или элегантным. Авторы ограничиваются рассмотрением частиц со спином 1/2, показывая, что алгебра спина 1/2 идентична алгебре пространства-времени и что операции со спином могут быть поняты геометрически. Все хорошо, но я думаю, что этого совершенно недостаточно, и было бы оправдано некоторое рассмотрение или рассмотрение того, как ГА можно широко использовать для квантовой механики.
На дальнем конце этого находится пребывание в общей теории относительности, частично мотивированное попыткой обобщить уравнение Дирака. Таким образом, вместо собственно классической ОТО мы получаем нечто вроде альтернативы картановскому формализму. Я думаю, что это представляет значительный интерес, поскольку использование ГА здесь позволяет демистифицировать многие тензорные манипуляции, присущие GR. Этот раздел содержит хорошо проработанный расширенный пример сферически-симметричного пространства-времени, а также краткое обсуждение осесимметричного пространства-времени, поэтому рассматриваются как черные дыры Шварцшильда, так и черные дыры Керра, а также звезды и космические струны.
Книга несколько сложна. Вводные главы могут быть полезны для изучения ГА (и некоторых понятий, применимых к дифференциальным формам; некоторые из более математически ориентированных отрывков по геометрическому исчислению подробно описывают взаимосвязь между многовекторными полями и дифференциальными формами), но я бы посчитал более легкими вводными материал для первого чтения. Книги Алана Макдональда по GA и GC в большей степени ориентированы на математику, но они также ориентированы на старшекурсников, поэтому для чисто математической основы я думаю, что они лучше для начала. Для приложений ГА для физиков очень эффективен, затрагивая электродинамику, квантовую теорию и общую теорию относительности, с небольшим количеством динамики твердого тела (которая значительно упрощается с помощью роторов из ГА).
Если вы хотите быстро получить представление об основах дифференциальных форм, в том числе об их связи со связностями, касательными расслоениями и т. д., рекомендую первые 4 онлайн-лекции Института периметра из курса «Гравитационная физика» (13/14, Р. Грегори).
Для начала вы можете взглянуть на статью «Дифференциальные формы для ученых» Ж. Б. Перо, Журнал вычислительной физики, 2014, том. 257 Часть B, я нашел это полезным.
Кайл Канос