В чем идея тензора кривизны Римана?

Идея состоит в том, что мы хотим определить некоторое понятие кривизны для многообразия, которое интуитивно согласуется с нашим интуитивным представлением о кривизне.

Гениальное озарение, которое приводит к желаемому определению, — это понятие параллельного транспорта . Говоря не строго, основная идея состоит в том, что если вы перенесете касательный вектор на многообразии, параллельном самому себе, по замкнутой кривой, то вектор вернется к себе в плоских пространствах, но станет другим вектором. в искривленном пространстве.

Чтобы понять, почему понятие параллельного переноса имеет какое-либо отношение к кривизне, подумайте, например, о евклидовой плоскости.$\mathbb R^2$по сравнению с двумерной сферой$S^2$.

Рассмотрим кривую, состоящую из равностороннего треугольника с одной вершиной в начале координат. Теперь представьте, что вы размещаете вектор, исходящий из начала координат, и представьте, что этот вектор перемещается вдоль треугольника, удерживая его «хвост» на треугольнике и следя за тем, чтобы вектор все время оставался параллельным самому себе. Если вы переместите вектор один раз вокруг треугольника обратно в начало координат таким образом, то вы получите тот же самый вектор обратно.

Что-то совершенно другое произойдет, если вы сделаете то же самое на сфере, как показано на следующей диаграмме со страницы вики о параллельном транспорте.

Если переместить вектор из точки А обратно в себя по кривой, указанной на диаграмме, то вектор не вернется в себя. Это происходит потому, что сфера искривлена.

На самом деле понятие параллельного переноса можно использовать для полной характеристики того, что мы подразумеваем под кривизной. Логика, которую вы найдете во многих книгах по ОТО и дифференциальной геометрии, примерно такова:

1. Определите понятие связи (в основном это определяет, что вы подразумеваете под производными на многообразии).

2. Используйте соединение, чтобы определить понятие параллельного транспорта, которое согласуется с нашим интуитивным представлением о параллельном транспорте, например, в приведенном выше примере со сферой.

3. Покажите, что существует тензор, который точно измеряет, насколько изменяются компоненты вектора, когда он перемещается параллельно по малой замкнутой кривой на многообразии.

4. Назовите этот тензор тензором Римана и используйте его как объект, выражающий понятие кривизны.

Об этом много говорится в книгах. Мне лично нравится обсуждение на страницах 36-38 Общей теории относительности Вальда .

Дополнение. Уолд на самом деле показывает, что если вы рассматриваете кривую, ограничивающую небольшой двумерный участок, параметризованный координатами$s$и$t$на заданном многообразии, то замена$\delta v^a$в компонентах вектора, переносимого по границе этого участка, удовлетворяет условию

Подробности смотрите в ответе Джошфизика; Я хотел бы добавить некоторые "обзорные" комментарии. Существенными, фундаментальными идеями здесь являются:

1. Отклонение от постулата параллельности Евклида (см. Вики-страницу «Постулат параллельности») ;
2. Как «плохо» векторные поля в рассматриваемом многообразии не могут быть интегрируемы (см. предисловие к странице Wiki о «Тензоре кривизны Римана» ) до изометрии с истинно евклидовым многообразием (т.е.$\mathbb{R}^N$)

Отклонение в (1) равно нулю тогда и только тогда, когда тензор кривизны и тензор кручения равны нулю. Отклонение в (2) измеряется тензором кривизны, как в ответе Джошфизики, его «не голономностью» , то есть насколько параллельный перенос тестового вектора вокруг небольшой петли варьируется, деленный на «площадь» этой петли. Фундаментальная теорема римановой геометрии показывает, что мы всегда можем определить единственную связь (связь Леви-Чивиты), которая поглощает кручение в кривизну, так что оба вышеприведенных понятия полностью рассматриваются формулой$\mathbf{R}(X,Y)$. Большинство GR делается с этим выбором, поэтому кручение не обсуждается. Но все же стоит прочитать об этом, когда вы узнаете о кривизне. Торсион играет фундаментальную роль в теории Эйнштейна-Картана, но я просто упоминаю здесь имена, так как, как и сержант Шульц, ничего об этом не знаю - для меня это будущий интеллектуальный проект.

Ссылка Джошфизика на Вальда хороша, мне также нравится трактовка Шютцем идей, изложенных в главе 6 его «Геометрических методов математической физики» . Его последняя версия «Первого курса общей теории относительности» немного освещает эти концепции, поскольку ему пришлось переместить часть материала в свою книгу «Геометрические методы», чтобы освободить место для обсуждения экспериментальной ОТО, которая является захватывающей областью. в данный момент.

Попутно ознакомьтесь с некоторыми прекрасными диаграммами, посмотрите этот ответ, который Бахода написал для меня на Maths SE.

Если вы готовы немного поработать, вы можете обратиться к главе 14 книги Роджера Пенроуза "Дорога к реальности" (называемой "Исчисление многообразий"). Простое прочтение этой книги даст вам хорошее понимание на высшем уровне. вы вернетесь и сделаете все упражнения, ваше понимание будет довольно полным - хотя это настоящий проект.

Другое базовое описание этих идей дано в главе 3 «Лекций по дифференциальной геометрии» Вульфа Россмана . Вы можете скачать оттуда: Россманн немного математический Фейнман - неустанно работает над поиском самых ясных и элементарных описаний вещей.

Для еще одного чтения в духе Пенроуза с самыми великолепными и любовно нарисованными диаграммами, которые вы когда-либо видели, соответствующие части Мизнера, Торна и Уилера хороши, но это чудовищный объем, и у меня нет его передо мной, поэтому я могу Не скажу вам, где его найти. Но это должно быть довольно очевидно, если вы возьмете в руки копию.

Думал, что я бы использовал немного другой подход, формулируя вышеизложенное с точки зрения первого курса векторного исчисления.

Предположим, у вас есть кривая$\vec{r}(t)$в$R^3$. Это может быть прямая линия, окружность, спираль, циклоида и т. д.

Вы можете связать с любой точкой кривой с хорошим поведением единичный касательный вектор$\hat{T}=\frac{\frac{d\vec{r}}{dt}}{|\frac{d\vec{r}}{dt}|}$

В свою очередь, у вас может быть единичный нормальный такой, что ,$\kappa(t) \hat{N}=\frac{d\hat{T}}{dt}$где$\hat{N}$единица нормальная и$\kappa$кривизна,

и вектор единичной бинормали$\hat{B}=\hat{N}\times\hat{T}/|\hat{N}\times\hat{T}|$

Можно показать, что$d\hat{B}/dt=-\tau\hat{N}$где$\tau$это Торсион.

Используя цепное правило,$\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{ds}\frac{ds}{dt}$где$ds$бесконечно малая длина дуги. Обычно предполагается$ds/dt=1$чтобы математика была проще. Это также имеет некоторые интересные физические следствия относительно псевдосил, которые могут помочь дать интуитивное понимание гравитационных эффектов искривленного пространства.

Кривизна определяется как$\kappa(t)=\frac{d\theta}{ds}$где$d\theta$является мерой бесконечно малого изменения направления единичного касательного вектора, и снова$ds$— бесконечно малая длина дуги.

$\hat{N}, \hat{B}$, и$\hat{T}$образуют ортонормированный криволинейный базис. Определенные отношения между ними сохраняются независимо от того, как меняются ваши координаты, если кривая вращается вокруг оси z, отражается через какую-то плоскость, перемещается куда-то еще в$R^3$. К ним относятся кривизна, вершины и другие геометрические элементы.

А$d\theta$подразумевается изменением любого единичного вектора. Векторы, представляющие как величину, так и направление, сохраняя постоянную величину, допускают изменение только направления, которое может быть представлено как изменение угла. Здесь есть 3 единичных вектора на выбор, поэтому есть 3 возможных$d\theta$с. Производные этих единичных векторов сами являются векторами, выражаемыми как эти векторы: Соотношения кривизны Френе-Сере

Обратите внимание, что в этих уравнениях производная векторов слева является линейной комбинацией векторов справа. Если бы у нас был вектор-столбец, состоящий из векторов базиса$T_{ij}=<\vec{N},\vec{B},\vec{T}>$, производная этого вектора-столбца по$ds$будет какая-то "матрица"$M$умноженный на$T_{ij}$. Двойной индекс необходим, потому что$i$выбирает, какой из трех векторов нас интересует, и$j$представляет, какой компонент этого вектора нас интересует.

Так$\frac{dT_{ij}}{ds}=M\cdot T_{ij}$представляет собой очень компактную форму уравнений Френе-Серре. Он представляет кривизну, предоставляя информацию о производных единичных векторов.

Грубо говоря, этот 2-индексированный объект (называемый тензором ранга 2) является вектором векторов или вложенным вектором. Таким образом, в аналогичном смысле это матрица. Они появляются повсюду, например, есть тензор напряжений Максвелла в электромагнетизме или тензор напряжений в материаловедении.

Векторное поле ассоциируется с точками в$R^n$еще один элемент в$R^n$.

В недекартовых системах координат единичные векторы могут меняться от точки к точке. Это означает, что они имеют ненулевые производные, подразумевающие некоторую концепцию кривизны в игре. Это, в свою очередь, означает изменение их компонентов.

$\Gamma^a_{bc}=$в$ath$компонент координаты$c$производная единичного вектора$b$. Например, в сферических координатах$\Gamma^r_{\theta \theta}=\frac{-1}{r}$Это символы Кристофеля второго рода.

У символов Кристофеля есть свои производные, которые также имеют отношение к кривизне.

Таким образом, кривизну можно классифицировать с помощью символов Кристофеля и их производных. В то время как матричные элементы называются парой строка/столбец, для символов Кристофеля нам нужно указать, какой компонент какой производной от какого вектора следует указать, что подразумевает 3 индекса. (Несмотря на то, что требуется 3 индекса, он сам по себе не является тензором, но его можно отложить). Взятие производной тензора создает тензор, имеющий дополнительный нижний индекс. Ранг — это количество индексов тензора. Таким образом, производная символа Кристофеля имеет ранг 4.

Обратите внимание, что тензор кривизны Римана имеет ранг 4. Также обратите внимание на форму, которую он принимает, и сравните с выражением кривизны для неявной кривой: Кривизна неявной кривой . Вы обнаружите, что более формальные методы лечения используют кривые для иллюстрации действующих принципов, в основном обобщая примитивные концепции кривизны кривой на кривизну многообразия.

Это не было особенно строгим, но, надеюсь, помогает развить интуицию для концепций в игре.

Кривизна является настолько важным понятием в математике и физике, что существует множество способов осмысления ее. Самая старая из них - гауссова кривизна, а самая современная использует концепции векторных и главных расслоений.

Гауссова кривизна

Начнем с самой простой кривой. Это прямая линия и, очевидно, кривизна должна быть равна нулю, то есть она не имеет кривизны. Следующая простейшая кривая — это круг. Это самое простое здесь, потому что это 1d, и какую бы кривизну мы ему ни присвоили, мы можем видеть, что эта кривизна одинакова во всех точках окружности.

Вопрос в том, какую кривизну мы должны ему присвоить? Круг имеет только одно число, связанное с ним, и это радиус. Конечно, есть и другие числа, связанные с кругом, такие как его площадь или длина окружности, но все они полностью зависят от радиуса. Очевидная мера кривизны, которую мы можем взять, — это обратная величина кривизны, то есть 1/r . Мы видим, что когда радиус увеличивается до бесконечности, кривизна стремится к нулю. И это имеет смысл, потому что дуга окружности в этой точке приближается к прямой.

Теперь мы можем увидеть, как оценить кривизну произвольной кривой. Мы выбираем точку и подгоняем окружность к этой точке, которая в некотором смысле касается ее, а затем мы говорим, что кривизна кривой — это кривизна окружности, которую мы подгоняем к ней.

Следующий вопрос, который необходимо решить, состоит в том, как оценить кривизну поверхности в точке p . Ну, мы летим на самолете по поверхности. Это даст нам кривую, и мы можем взять кривизну этой кривой. Однако эта плоскость была произвольной, поэтому давайте проведем каждую плоскость через эту точку и оценим кривизну каждой кривой, которую это дает. Очевидно, существуют минимум и максимум этих кривизн, и они называются главными кривизнами,$\kappa_1, kappa_2$. Гауссова кривизна является их произведением,$\kappa_1, kappa_2$. Гаусс обнаружил, что эта кривизна присуща поверхности и не зависит от того, как поверхность встроена в пространство. Это произвело на него такое сильное впечатление, что он назвал это теоремой Эгрегиум (замечательная теорема). Он был прав, когда был впечатлен тем, что именно это свойство гауссовой кривизны, во многих отношениях обобщенное, формирует современную концепцию, и, в частности, ОТО Эйнштейна и более того, в физике элементарных частиц: все силы в стандартной модели — электромагнитные, слабое и сильное взаимодействие можно понять с точки зрения кривизны (главных пучков).

Очевидно, что для ОТО нам требуется оценка кривизны для 4-мерных многообразий, а не только для поверхностей. Мы используем трюк, аналогичный тому, что мы только что сделали. Возьмем точку p в многообразии любой размерности. Тогда в этой точке у него есть касательное пространство. Теперь мы выбираем плоскость, проходящую через эту точку, и это определяет поверхность в многообразии, которая проходит через эту точку и имеет эту плоскость в качестве касательной плоскости, и мы берем гауссову кривизну этой поверхности в этой точке. Это дает нам набор кривизн, связанных со всеми плоскостями, которые мы можем провести через эту точку в этой точке. Эта кривизна называется секционной кривизной. А оказывается секционная кривизна определяет и определяется римановой кривизной.

Риманова кривизна

У этого есть простое, но абстрактное определение. Это определяется как

$R(u,v):=[\nabla_u,\nabla_v] - \nabla_{[u,v]}$

Он измеряет некоммутативность касательных векторов на многообразии; или, наоборот, потеря параллельного транспорта при движении по маленькому параллелограмму.

Оказывается, что в точке p , если мы выберем там два касательных вектора u,v , то

$(R(u,v)w,z) =$ $(1/6)(d^2/ds.dt) [K(u+sz, v+tw) - K(u+sw, v+tz)]$в точку$(s,t) = 0$

Где K - секционная кривизна, и мы можем видеть, что левая часть также в некотором смысле измеряет некоммутативность.

Однако тензор кривизны Римана гораздо более удобен — это тензор, и он удовлетворяет трем простым свойствам симметрии, и его абстрактное определение — хотя и абстрактное — прямолинейно и легко обобщается (в соответствующем смысле!) конкретное и геометрическое определение гауссовой кривизны, которое весьма сложно. Такого рода вещи довольно часто встречаются в математике и физике.

Другой способ сравнить их — оценить их в простой ситуации, и самый простой — это поверхность, где:

$R_abcd = K(g_ac.g_db - g_ad.g_cb)$

Где K=R/2 — гауссова кривизна, а фактически и секционная кривизна. Она равна половине скалярной кривизны R , что является как раз полным сокращением тензора Римана. (Обратите внимание, что$g_ab$является метрикой.)

Соединения

Для определения римановой кривизны нам потребуется метрика на многообразии. Это способ измерения длин и углов. Однако оказывается, что можно обойтись и меньшим. Все, что нам нужно, — это соединение , которое говорит нам, как осуществлять параллельный перенос из одной точки в другую, то есть соединяет касательные пространства. Эквивалентным понятием является голономия , которая говорит нам, как изменяются касательные векторы, если мы перемещаем их по небольшим петлям.

Согласно ответу @R.Romero на это, в трехмерном пространстве символы Кристоффеля указывают пошаговое небольшое изменение направления и длины каждого из трех единичных базисных векторов. Касательный, нормальный и бинормальный, измеренный от самого объекта с началом [0,0,0] также на самом объекте:

искусно выраженные в терминах длин, измеренных с использованием тех же самых единичных векторов T, N, B в этот точный момент итерации, тем самым давая нам общую матрицу 3x3, которая даст нам следующий набор направлений и длин осей T, N, B, которые мы можем использовать на следующей итерации временного шага, это правильно? Затем этот процесс повторяется, так что у нас постоянно меняются числа в матрице 3x3 (которая определяется как тензор Римана) по мере нашего движения в пространстве.

Таким образом, в четырехмерном пространстве-времени это будет обобщено на матрицу 4x4, поскольку в каждой точке пространства-времени указано 4 базисных вектора.

Но так как базисные векторы