Доказательство квантования магнитного заряда монополей с помощью гомотопических групп

Question

Доказательство квантования магнитного заряда монополей с помощью гомотопических групп

Физика
топология
калибровочная теория
дирак-монополь
магнитные монополи
математическая физика

Машина

Предположим, мы поместили монополь в начало координат. $\{{\bf 0}\}$ , а калибровочное поле хорошо определено в области $\mathbb R^3-\{0\}$ который гомоморфен сфере $S^2$ .

Тогда полное многообразие равно $U(1)$ волокна прикреплены к основанию $S^2$ . Можно спросить, сколько типов «фазовой текстуры» существует на сфере?

Затем я использую $\pi_2 (U(1)) = \pi_2(S^1)$ так как мы установили карту $S^2\mapsto U(1) \sim S^1$ .

Но $\pi_2 (S^1) = 0$ нет $\mathbb Z$ ! Где я ошибся? Согласно известной книге «Топология и геометрия для физиков» , правильная формула должна быть

π_{1} (С^{1}) "=" Z .

$\pi_1(S^1) = \mathbb Z.$ Почему

π_{1}

$\pi_1$ вместо

π_{2}

$\pi_2$ ?

джошфизика

Вы имели в виду

R^{3} - {0}

$\mathbb R^3-\{0\}$ гомеоморфна _ _

S^{2}

$S^2$ ? И если это так, заметьте, что первое пространство некомпактно (в частности, оно не является ограниченным подмножеством

R^{3}

$\mathbb R^3$ ) пока

S^{2}

$S^2$ компактно, поэтому само по себе это утверждение неверно.

твистор59

Может быть, «гомотопически эквивалентно» было бы более подходящим.

Ответы (2)

Доказательство квантования магнитного заряда монополей с помощью гомотопических групп

Вы имели в виду $\mathbb R^3-\{0\}$ гомеоморфна _ _ $S^2$ ? И если это так, заметьте, что первое пространство некомпактно (в частности, оно не является ограниченным подмножеством $\mathbb R^3$ ) пока $S^2$ компактно, поэтому само по себе это утверждение неверно.
Может быть, «гомотопически эквивалентно» было бы более подходящим.

твистор59 · Answer 1

Вы хотите указать, сколько «изгибов» есть в $U(1)$ (т.е. эффективно $S^1$ ) расслоение $S^2$ . Если вы покроете $S^2$ с северным и южным участками, то переходная область топологически $S^1$ поэтому расслоение классифицируется по картам $S^1$ к $U(1)$ , т.е. вы хотите $\pi_1(U(1))=\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$

Я понимаю. Применяется ли он ко всем закрытым двумерным поверхностям с ненулевой кривизной? например $T^2$ ? В этом случае инвариант TKNN также читается $\pi_1 (U(1)) = \mathbb Z$
$T^2$ означает $S^1XS^1$ ? Если так, то да, я думаю, в этом случае пучки кругов классифицируются по $H^2(M;\mathbb{Z})$ это снова целые числа - класс Эйлера.
А ведь известно, что инвариант ТКНН — это первые числа «Черна».

Qмеханик · Answer 2

Что OP классифицирует с $\pi_2 (G)$ [где калибровочная группа здесь $G=U(1)$ ], является глобально $^1$ определенные калибровочные преобразования $g: M\to G$ . Обычно это не то, что мы хотим вычислить.

При обсуждении монополя Дирака физиков вместо этого интересует классификация неэквивалентных конфигураций динамической переменной теории, т. е. калибровочного потенциала $A$ . Точнее, в картине Ву-Янга/расслоения (в которой не используется струна Дирака ) мы рассматриваем связанное векторное расслоение

Т^{*} М \otimes г \to М,

$T^{*}M\otimes \mathfrak{g}~\to~ M,$ где

g = u (1)

$\mathfrak{g}=\mathfrak{u}(1)$ — соответствующая алгебра Ли. Неявно подразумевается, что калибровочные потенциалы

A_{α} : U_{α} \to g

$A_{\alpha}: U_{\alpha}\to \mathfrak{g}$ определяются на местных картах

U_{α} \subset M

$U_{\alpha}\subset M$ с

\cup_{α} U_{α} = M

$\cup_{\alpha}U_{\alpha}=M$ . При этом неявно подразумевается, что два локальных сечения

A_{α} : U_{α} \to g

$A_{\alpha}: U_{\alpha}\to \mathfrak{g}$ и

A_{β} : U_{β} \to g

$A_{\beta}: U_{\beta}\to \mathfrak{g}$ связаны локальными калибровочными преобразованиями

g_{α β} : U_{α} \cap U_{β} \to G

$g_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\cap U_{\beta} \to G$ в перекрытиях

U_{α} \cap U_{β}

$U_{\alpha}\cap U_{\beta}$ .

Получается, что поэтому нас интересует подсчет карт из области экваториального перекрытия. $S^1$ к $G$ , т.е. $\pi_1 (G)$ , как объясняет твистор59 в своем ответе.

--

$^1$ Основное пространственное многообразие для монополя Дирака $M=\mathbb{R}^3\backslash\{\bf 0\}$ , который гомотопически эквивалентен (но не гомеоморфен) $S^2$ . Мы убрали начало координат, так как монополь Дирака там сингулярен. [ Монополи 'т Хофта-Полякова регулярны во всем пространстве $\mathbb{R}^3$ , но мы не будем обсуждать эти монополи в этом ответе.]

Доказательство квантования магнитного заряда монополей с помощью гомотопических групп

Машина

джошфизика

твистор59

Ответы (2)

твистор59

Машина

твистор59

Машина

Qмеханик

Каково число витков магнитного монополя и почему оно сохраняется?

Играют ли высшие гомотопические группы какую-либо роль в калибровочной теории?

Каковы определение и примеры топологического возбуждения?

Что мы имеем в виду, когда говорим, что волновая функция КМ является частью расслоения U(1)U(1)U(1)?

Лево-правая топология

7 сфера, есть ли физическая интерпретация экзотических сфер?

Когда термин Весса-Зумино хорошо определен?

Векторный потенциал для магнитного поля, когда поле не находится в односвязной области

Почему нам так нравятся калибровочные потенциалы?

Первое число Черна, монополи и квантовые состояния Холла