Что мы имеем в виду, когда говорим, что волновая функция КМ является частью расслоения U(1)U(1)U(1)?

Этот$U(1)$это всего лишь калибровочная симметрия электромагнетизма. Для волновой функции заряженной частицы$U(1)$просто действует, изменяя фазу волновой функции. «Секция» означает, что мы действительно хотим определить фазу в каждой точке. Но поскольку есть$U(1)$симметрии фаза в значительной степени произвольна. Однако произвольное изменение фазы в зависимости от положения на самом деле не создает эквивалентного физического состояния, потому что изменения запоминаются в изменениях калибровочного поля - в математической терминологии информация хранится в «соединении на пучке волокон». .

В присутствии магнитных монополей векторный потенциал$\vec A$не может быть определено глобально, потому что$\vec B={\rm curl}\,\vec A$автоматически подчиняется${\rm div}\,\vec B=0$но это уравнение нарушается в присутствии зарядов магнитного монополя, потому что${\rm div}\,\vec B=q_m\delta^{(3)}(\vec x)$. Однако все же можно определить$\vec A$почти везде вокруг точечного магнитного монополя, за исключением полубесконечной струны (линии), начинающейся в начале координат (местоположении монополя), так называемой струны Дирака.

Это эквивалентно замене монополя длинным магнитным диполем, соединяющим исходный монополь с противоположным полюсом, отправленным в бесконечность. Поскольку противоположный полюс находится в бесконечности, он становится нематериальным. Однако длинный соленоид (магнит), соединяющий два полюса, также должен быть невидимым. Необходимым условием для этого является то, что эффект Ааронова-Бома вокруг этого соленоида не вызывает заметного фазового сдвига, и это эквивалентно правилу квантования Дирака для магнитного заряда, по существу$q_m q_e\in 2\pi{\mathbb Z}$.

В математической терминологии возможная трансформация фазы волновой функции, индуцированная обходом струны Дирака, является причиной того, что мы должны говорить о «жгутах»: нельзя положить$\vec A$равны нулю везде, так что даже если нигде в пространстве нет магнитного источника (кроме начала координат), мы все равно не можем присвоить естественную уникальную фазу волновой функции в объеме пространства.

В единицах заряда элементарного магнитного монополя$q_m$– число монополей – может быть выражено либо как коэффициент$\delta^{(3)}(\vec X)$в${\rm div}\,\vec B$, или - что то же самое по теореме Гаусса - как поверхностный интеграл$\int d\vec S\cdot \vec B$с правым условно-зависимым коэффициентом. Кроме того, поскольку вся «нетривиальность» расслоения может быть сосредоточена на струне Дирака, единственное место, где$\vec A$определен нечетко, магнитный поток может быть сведен к интегралу по малому поперечному сечению, пересекающему струну Дирака, и, следовательно,$q_m$выражается монодромиями вокруг струны Дирака, которые говорят вам, насколько скручены пучки волокон.

Все это одно и то же. Чтобы понять, почему они одинаковы, полезно понять, что физики пытаются «упрощать» расслоение волокон, и им это почти удается, за исключением струны Дирака, где$\vec A$не является четко определенным. Однако,$\vec B$определяется везде, кроме начала координат. Таким образом, все, что касается нетривиальности расслоения, должно быть закодировано в калибровочно-инвариантных функционалах$\vec A$, а именно в контурных интегралах$\oint d\vec \ell\cdot \vec A$и поверхностные интегралы$\vec B$. По обычным банальным теоремам типа Гаусса они дают такое же число для конфигурации магнитного монополя.

Что касается обновленного списка вопросов,

1. волновая функция представляет собой сечение сложного расслоения со структурной группой$U(1)$что такое калибровочная группа
2. калибровочные преобразования определяют функции перехода между патчами; патчи должны быть диффеоморфны шарам, но на самом деле мы можем сделать основной патч размером со все пространство за вычетом струны Дирака.
3. электромагнитный потенциал математики всегда называют связностью на расслоении (калибровочной симметрии); невозможность определить$\vec A$глобально, поэтому пакет нетривиален
4. стоимость соединения$\vec A$может быть чем угодно, что подчиняется уравнениям Максвелла. В 3+1D магнитные монополи являются единственными локализованными источниками, которые могут сделать расслоение нетривиальным, поэтому каждый общий потенциал является суперпозицией хорошо определенного$\vec A$и$\vec A$из распределения магнитных монополей.

См. также, например

можно ли ввести магнитные монополи без струн Дирака?