Векторный потенциал для магнитного поля, когда поле не находится в односвязной области

Question

Векторный потенциал для магнитного поля, когда поле не находится в односвязной области

Золото

Согласно лемме Пуанкаре, если $U\subset \mathbb{R}^n$ является звездным множеством, и если $\omega$ это $k$ -форма определена в $U$ то закрыто, то $\omega$ является точным, что означает, что есть некоторые $(k-1)$ - форма, скажем $\eta$ с $\omega = d\eta$ . Теперь, переводя на векторные поля, если мы рассмотрим $U$ набор в форме звезды $\mathbb{R}^3$ и если $B$ векторное поле внутри $U$ такой, что $\nabla\cdot B= 0$ , то есть какое-то векторное поле $A$ определено в $U$ такой, что $B = \nabla \times A$ .

Я слышал, что лемма Пуанкаре оказывается верной, даже если $U$ не звездообразная, а просто сжимаемая. Теперь, в предположении леммы Пуанкаре, тот факт, что магнитное поле удовлетворяет условию $\nabla\cdot B = 0$ следует существование векторного потенциала $A$ , с $B = \nabla \times A$ . Но что произойдет, если магнитное поле определено в какой-то области пространства, которая не является односвязной? В таком случае векторный потенциал не мог бы существовать по лемме Пуанкаре (она не говорит, что его не существует, но и не гарантирует его существование).

Итак, если область, в которой определено поле, имеет дыры, что произойдет? Есть ли шанс, что векторного потенциала не существует? В таком случае, каковы физические последствия этого? Поскольку мне всегда говорили, что векторный потенциал — это всего лишь математический инструмент, введенный для облегчения жизни, я думаю, что это не окажет столь большого влияния на точку зрения концептуального объяснения ситуации, однако я не уверен .

Ответы (2)

Векторный потенциал для магнитного поля, когда поле не находится в односвязной области

джошфизика · Answer 1

Ты спрашиваешь

что произойдет, если в области, где определено поле, есть дыры?

Что ж, в этом случае вы можете определить векторный потенциал на односвязных подобластях $R_i$ пересечением которых является вся неодносвязная область $R$ и такие, что они отличаются только калибровочным преобразованием в областях перекрытия. Это физически хорошо мотивировано, потому что это означает, что с точностью до калибровочного преобразования векторный потенциал может быть определен на $R$ .

Вот простой пример. Позволять $\ell=\{(x,y,z)\,|\, x=0, y=0\}$ обозначить $z$ -ось, то область $R=\mathbb R^2\setminus\ell$ не просто связано. Чтобы увидеть это, просто представьте замкнутый контур, охватывающий ось; нет возможности постоянно сжимать его до точки, оставаясь в $R$ . Из-за этого нет $\mathbf A$ определяется на всех $R$ . Однако пусть $\ell_+$ обозначают положительное $z$ -ось, и пусть $\ell_-$ обозначают отрицательный $z$ -ось, то области $R_- = \mathbb R^3\setminus \ell_+$ и $R_+ = \mathbb R^3\setminus \ell_-$ обладают тем свойством, что все они односвязны и $R = R_+\cap R_-$ . Более того, мы можем определить векторный потенциал $\mathbf A_+$ на $R_+$ и $\mathbf A_-$ на $R_-$ такая, что существует скалярная функция $\Lambda$ для которого

\begin{aligned} А_{+} (Икс) - А_{-} (Икс) "=" \nabla Λ (Икс), для всех Икс е р \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf A_+(\mathbf x) - \mathbf A_-(\mathbf x) = \nabla\Lambda(\mathbf x), \qquad \text{for all $\mathbf x\in R$} \end{align}$ Фактически, вот явные выражения в сферических координатах

(r, θ, ϕ)

$(r,\theta,\phi)$ :

\begin{aligned} А_{\pm} & "=" - г \frac{потому что θ \mp 1}{р грех θ} \hat{ф} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf A_{\pm} &= -g\frac{\cos\theta\mp 1}{r\sin\theta}\hat{\boldsymbol \phi} \end{align}$ Я оставлю это вам, чтобы определить

Λ

$\Lambda$ ; это веселое упражнение.

каковы физические последствия этого?

Ну, в контексте квантовой механики такого рода топологические вопросы физически релевантны (я не уверен, есть ли примеры, в которых они актуальны на классическом уровне, но я так не думаю). Я не буду вдаваться здесь в подробности (разве что, возможно, есть какой-то спрос), но те самые векторные потенциалы, которые я записал в примере выше, всплывают при обсуждении магнитных монополей и квантования электрического заряда (см. Квантование Дирака ).

Эти топологические вопросы также становятся важными при обсуждении знаменитого эффекта Ааронова-Бома .

Я видел, что топология очень важна в QM. Есть ли соответствующие примеры в CM?
@jinawee Я не совсем тот человек, чтобы спрашивать об этом, потому что мои знания о конденсированных средах очень ограничены, но это может вас заинтересовать en.wikipedia.org/wiki/Topological_insulator
Есть ли на самом деле доказательства для вашего первого утверждения? И вы действительно имеете в виду объединение вместо пересечения в нем?

Боб Террелл · Answer 2

Поле обратных квадратов $-{\bf x}/r^3$ имеет расходимость 0 в односвязном $R^3$ минус начало координат, но не имеет векторного потенциала в этой области. Если бы это было так, то его интеграл по сфере с центром в начале координат был бы равен 0 по теореме Стокса, что не так. Так что "просто подключенный" - не совсем правильно. Вы хотите, чтобы домен был 2-связным. Этого достаточно.

Любопытно, что у него есть векторный потенциал в области, которая даже не является односвязной: $(-yz,xz,0)/((x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ отрабатывает $z$ ось.

Векторный потенциал для магнитного поля, когда поле не находится в односвязной области

Золото

Ответы (2)

джошфизика

Джинави

джошфизика

лалала

Боб Террелл

Векторный потенциал AAA на двумерной сфере S2S2S^2 радиуса RRR с удаленными точками

Теорема о расходимости, математический подход к закону Гаусса?

7 сфера, есть ли физическая интерпретация экзотических сфер?

EM интерпретируется в основном или векторном расслоении?

Как физик воспринимает калибровочные поля

Однородные уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм

Электромагнетизм для математиков

Каковы аналоги FμνFμνF_{\mu\nu} в общей теории относительности?

Происхождение интеграла от тензора напряженности поля в линейной экспоненте в калибровочной теории поля

Подмногообразия постоянной энтропии запутанности