Доказательство сохранения углового момента для частицы, движущейся в центральном силовом поле F⃗ =ϕ(r)r⃗ F→=ϕ(r)r→\vec F =\phi(r) \vec r

Проблема, которую я пытаюсь решить, заключается в следующем:

Частица движется в силовом поле, заданном формулой Ф → "=" ф ( р ) р → . Докажите, что угловой момент частицы относительно начала координат постоянен.

Я настроил его следующим образом:

Ф → "=" м г 2 р → г т 2

в → "=" ∫ Ф → м   г т "=" ∫ ф ( р ) р → м   г т

что равно:

ф ( р ) т р → м + с

(Я не уверен, что я делаю в этот момент. Правильно ли мое интегрированное выражение?)

Предполагая, что это так, мы получаем:

Угловой момент л "=" м ( р → × в → ) "=" р → × ( ф ( р ) т р → + с )

Теперь я не знаю, что делать с постоянным членом, но я знаю, что

р → × к р → "=" 0

Однако в задаче говорится, что мы должны доказать, что результат является константой, поэтому я думаю, что ошибаюсь. Конкретные места, где кто-то может мне помочь:

(1) Правильно ли моя интеграция? Если нет, то как интегрировать силу (заданную в терминах обозначения вектора положения) по времени?

(2) Что происходит с константой? Перекрестное произведение вектора и скаляра не имеет никакого смысла.

Когда вы хотите доказать, что некоторая величина Икс Д Z не меняется со временем, самый интуитивный способ начать — попытаться доказать, что Икс Д Z ( т "=" т 1 ) "=" Икс Д Z ( т "=" т 2 ) за любые два раза т 1 и т 2 . Но это почти никогда не самый простой способ продолжить. Более разумный подход — попытаться доказать, что производная по времени от XYZ равна нулю.

Ответы (3)

Если вы хотите доказать, что л → "=" р → × п → постоянна во времени для частицы в центральном силовом поле Ф → "=" ф ( р ) р → , просто покажите, что угловой момент не меняется со временем, т.е. г г т л → "=" 0 .

Используя правило произведения, мы получаем два термина:

г г т л → "=" г г т ( р → × п → ) "=" г р → г т × п → + р → × г п → г т .

С п → "=" м г р → г т и г р → г т очевидно параллельны, то первый член равен нулю. В частном случае центральной силы Ф → "=" ф ( р ) р → исчезает и второй член: имеем г п → г т "=" Ф → ∝ р → , поэтому два вектора во втором члене параллельны, в результате чего векторное произведение становится равным нулю.

Поэтому г г т л → "=" 0 и л → является константой по времени.

Чтобы ответить на ваши вопросы:

(1) Нет, так интегрироваться нельзя. Положение частицы р → изменяется со временем, поэтому вы не можете рассматривать его как константу в вашей интеграции. Если вы хотите решить этот интеграл, решите уравнения движения г п → г т "=" Ф → первый.

(2) Если бы ваше интегрирование было правильным (например, если бы положение частицы было постоянным), константа интегрирования тоже была бы вектором. Тогда перекрестное произведение снова имело бы смысл.

С Ф "=" ф ( р ) р → , вы можете найти крутящий момент вокруг начала координат.

Крутящий момент т "=" Ф → × р → "=" ф ( р ) р → × р →

Но р → × р → равен нулю, поэтому крутящий момент вокруг начала координат также равен нулю.

Поскольку крутящий момент - это просто скорость изменения углового момента г л → г т , угловой момент не меняется, что вы и хотели доказать.

Вы не можете сделать этот интеграл, потому что мы ожидаем р → меняться со временем. Если потенциал центральный, то он зависит только от нормы радиус-вектора, но это, конечно, может измениться. Однако в своем интеграле вы смешиваете числа и векторы, с → в любом случае это вектор.

Изменить: я неправильно понял вопрос, приведенный выше ответ хорош

Доказательство сохранения углового момента для частицы, движущейся в центральном силовом поле F⃗ =ϕ(r)r⃗ F→=ϕ(r)r→\vec F =\phi(r) \vec r
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v