Угловой момент и крутящий момент колеблющегося цилиндрического стержня

Question

Угловой момент и крутящий момент колеблющегося цилиндрического стержня

ДженниТой

Представьте себе однородный однородный цилиндр, поперечное сечение которого не обязательно круг (может быть эллипс), а какая-то другая фигура с площадью $A$ . Цилиндр колеблется, как качели, вокруг своей средней точки, поэтому его угловая скорость равна $\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt}$ , где $\theta$ угол между цилиндром и горизонталью.

Имеем следующие соотношения между его объемом $V$ , его плотность $\rho$ , его длина $L$ и площадь $A$ его поперечного сечения

м "=" (м_{л} + м_{р}) "=" р В "=" р л А

$m=(m_{L}+m_{R})=\rho V=\rho LA$

где $m_{R}$ - масса правой половины цилиндра и $m_{L}$ - масса левой половины цилиндра (слева и справа от средней точки, вокруг которой он колеблется). В общем $m_{R}\neq m_{L}$ так как существует небольшая асимметрия между двумя сторонами цилиндра.

Каковы выражения для углового момента и момента силы тяжести через $m_{L},m_{R},\dot{\theta},\rho$ и $A$ при условии, что центр масс каждой половины расположен примерно на четверти длины $L$ цилиндра?

Для крутящего момента я получаю, используя определение и предполагая, что центр масс находится в $L/4$ ,

т "=" м_{л} г потому что θ \frac{л}{4} - м_{р} г потому что θ \frac{л}{4} "=" \frac{г потому что θ (м_{л}^{2} - м_{р}^{2})}{4 р А}

$\tau=m_{L}g\cos\theta\frac{L}{4}-m_{R}g\cos\theta\frac{L}{4}=\frac{g\cos\theta (m_{L}^{2}-m_{R}^{2})}{4\rho A}$

Как бы я вычислил угловой момент? я предполагаю $v=\dot{\theta}L/2$ ?

Дж. Шупперд

Меня смущает ваше первое уравнение. Должно ли быть m=(mL+mR)=pV=pLA? а если цилиндр колеблется около середины, то не будет ли mL=mR?

ДженниТой

Я исправил формулу плотности массы. Нет

м_{л} \neq м_{р}

$m_{L}\neq m_{R}$ потому что есть небольшая асимметрия между левой и правой сторонами.

Дж. Шупперд

Изменяется ли площадь по мере движения по цилиндру? Отсюда и асимметрия?

МаксВт

В первом предложении вы указываете «гомогенный равномерный цилиндр», а затем вы указываете, что есть «небольшая асимметрия». Так каким же быть?

ДженниТой

Возможно, мне следует объяснить, что цилиндр моделирует свечу, которая горит (медленно) с обоих концов при колебании. Асимметрия возникает из-за того, что нижний конец свечи сгорает немного быстрее, чем верхний конец.

Сэмми Песчанка

Угловой момент

J \dot{θ}

$J\dot\theta$ где

J

$J$ есть момент инерции.

ДженниТой

Буду ли я делать импульс инерции левой стороны минус импульс правой стороны?

Сэмми Песчанка

Нет. Они складываются. Имеет значение только расстояние от оси, а не с какой стороны оси они находятся. В противном случае симметричные объекты всегда имели бы нулевой момент инерции — следовательно, нулевой угловой момент.

Джон Алексиу

Момент импульса относительно какой точки? Угловой момент и MMOI увеличиваются по мере удаления от центра масс, который вы измеряете.

ДженниТой

Угловой момент относительно середины цилиндра.

Ответы (1)

Угловой момент и крутящий момент колеблющегося цилиндрического стержня

Меня смущает ваше первое уравнение. Должно ли быть m=(mL+mR)=pV=pLA? а если цилиндр колеблется около середины, то не будет ли mL=mR?
Я исправил формулу плотности массы. Нет $м_{л} \neq м_{р}$ $m_{L}\neq m_{R}$ потому что есть небольшая асимметрия между левой и правой сторонами.
Изменяется ли площадь по мере движения по цилиндру? Отсюда и асимметрия?
В первом предложении вы указываете «гомогенный равномерный цилиндр», а затем вы указываете, что есть «небольшая асимметрия». Так каким же быть?
Возможно, мне следует объяснить, что цилиндр моделирует свечу, которая горит (медленно) с обоих концов при колебании. Асимметрия возникает из-за того, что нижний конец свечи сгорает немного быстрее, чем верхний конец.
Угловой момент $J\dot\theta$ где $J$ есть момент инерции.
Буду ли я делать импульс инерции левой стороны минус импульс правой стороны?
Нет. Они складываются. Имеет значение только расстояние от оси, а не с какой стороны оси они находятся. В противном случае симметричные объекты всегда имели бы нулевой момент инерции — следовательно, нулевой угловой момент.
Момент импульса относительно какой точки? Угловой момент и MMOI увеличиваются по мере удаления от центра масс, который вы измеряете.
Угловой момент относительно середины цилиндра.

пользователь 2175783 · Answer 1

Разделите мысленно цилиндр на две половины: половину слева от середины колебаний и половину справа от середины колебаний.

Назовем длину левой части цилиндра $L_{l}$ и длина правой части $L_{r}$ . Общая длина $L=L_{r}+L_{l}$ .

Мы знаем, что масса левой половины

м_{л} "=" р В_{л} "=" р А л_{л}

$m_{l}=\rho V_{l}=\rho AL_{l}$ , следовательно

\begin{matrix} (1) & л_{л} "=" \frac{м_{л}}{р А} \end{matrix}

$L_{l}=\frac{m_{l}}{\rho A}\label{1}\tag{1}$

Аналогично для правой стороны

м_{р} "=" р В_{р} "=" р А л_{р}

$m_{r}=\rho V_{r}=\rho AL_{r}$ и

\begin{matrix} (2) & л_{р} "=" \frac{м_{р}}{р А} \end{matrix}

$L_{r}=\frac{m_{r}}{\rho A}\label{2}\tag{2}$

$A$ обозначает площадь поперечного сечения цилиндра (одинакова на левой и правой половинах цилиндра).

Угловой момент определяется произведением момента инерции на угловую скорость каждой половины цилиндра, поэтому

А М "=" я_{л} \dot{θ} + я_{р} \dot{θ}

$AM=I_{l}\dot{\theta}+I_{r}\dot{\theta}$

С $I_{r}=\frac{m_{r}L_{r}^{2}}{3}, I_{l}=\frac{m_{l}L_{l}^{2}}{3}$ угловой момент становится

А М "=" \frac{м_{р}^{3} + м_{л}^{3}}{3 р^{2} А^{2}} \dot{θ}

$AM=\frac{m_{r}^{3}+m_{l}^{3}}{3\rho^{2} A^{2}}\dot{\theta}$

где я использовал( $\ref{1}$ ) и ( $\ref{2}$ ) заменить $L_{l},L_{r}$ .

Для получения полного крутящего момента от силы тяжести сложите крутящий момент слева с крутящим моментом от правой половины цилиндра, принимая во внимание, что сила тяжести действует в средней точке. Поскольку крутящий момент

т "=" м_{л} \vec{р_{л}} \times \vec{Ф} + м_{р} \vec{р_{р}} \times \vec{Ф}

$\tau=m_{l}\vec{r_{l}}\times \vec{F}+m_{r}\vec{r_{r}}\times\vec{F}$ мы получаем

т "=" г потому что θ (м_{л} л_{л} / 2 - м_{р} л_{р} / 2) "=" \frac{м_{л}^{2} - м_{р}^{2}}{2 р А} г потому что θ

$\tau=g\cos\theta(m_{l}L_{l}/2-m_{r}L_{r}/2)=\frac{m_{l}^{2}-m_{r}^{2}}{2\rho A}g\cos\theta$

где я предполагаю, что центр масс каждой стороны цилиндра находится в его середине, поэтому при $L_{r}/2$ или $L_{l}/2$ и поэтому $\vec{r_{r}}=L_{r}/2(\cos\theta,\sin\theta,0),\vec{r_{l}}=L_{l}/2(-\cos\theta,-\sin\theta,0)$ а потом я снова использовал( $\ref{1}$ ) и ( $\ref{2}$ ).

Угловой момент и крутящий момент колеблющегося цилиндрического стержня

ДженниТой

Дж. Шупперд

ДженниТой

Дж. Шупперд

МаксВт

ДженниТой

Сэмми Песчанка

ДженниТой

Сэмми Песчанка

Джон Алексиу

ДженниТой

Ответы (1)

пользователь 2175783

Правильно ли в этом случае использовать закон сохранения углового момента? Почему или почему нет?

Уточнение относительно главных осей при движении твердого тела

Угловое ускорение в твердых телах

Путаница о том, что происходит, когда ось вращения гироскопа вращается

Расчет пути мяча со вращением, движущегося по столу

Сфера поднимается на ступеньку [закрыто]

Принцип механики

Система координат, угловые свойства и центроид

Механика вращения: возможно ли угловое ускорение без внешнего крутящего момента?

Пример несохранения углового момента, но действительно ли требуется внешний крутящий момент?