Линейный импульс вращающейся системы

как бы мы на самом деле рассчитали конечный линейный импульс системы...

Полный линейный импульс системы частиц — это просто сумма импульсов каждой частицы. Это довольно просто сделать для однородного стержня и массы, прилипшей к его концу.

Стержень

Поскольку стержень однороден, каждый элемент стержня на одной стороне штифта имеет такой же, но противоположный линейный импульс, что и элемент на другой стороне штифта. Следовательно, полный импульс стержня равен$0$. Это имеет смысл, так как стержень сам по себе не нуждается во внешней силе, чтобы вращаться вокруг своего центра масс, где находится штифт.

масса

Так что на самом деле единственный чистый линейный импульс исходит от массы, которая прилипает к стержню. С$\mathbf p=m\mathbf v$, и с тех пор$\mathbf v=\omega R\hat\theta$, имеем полный импульс системы

$$\mathbf p=m\omega R\hat\theta$$ где направление$\hat\theta$определяется угловым положением массы в некоторый момент времени.

и усилие, приложенное штифтом?

Поскольку единственная внешняя сила здесь действует на штифт, мы имеем

$$\mathbf F_{\text{pin}}=\dot{\mathbf p}=m\omega R\frac{\text d\hat\theta}{\text dt}=-m\omega^2 R\hat r$$ где как раньше$\hat r$определяется положением массы в некоторый момент времени. Обратите внимание, что это всего лишь центростремительная сила, действующая на массу.

Я предоставляю вам определить полярные единичные векторы как явные функции времени.