Доказательство того, что определитель матрицы 3×33×33 х 3 равен объему параллелепипеда, натянутого на столбцы.

Question

Доказательство того, что определитель матрицы 3×33×33 х 3 равен объему параллелепипеда, натянутого на столбцы.

векторы
матрицы
определитель
Математика
перекрестный продукт
линейная алгебра

Джон Хипписли

Недавно я прочитал о том, как формула перекрестного произведения $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}$ исходит из следующего:

Рассмотрим параллелепипед, натянутый на вектор $\boldsymbol{x}$ и постоянные векторы $\boldsymbol{r}$ и $\boldsymbol{q}$ . Тогда его подписанный том $vol(\boldsymbol{x})=\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\r_1&r_2&r_3\\q_1&q_2&q_3\end{vmatrix}$ . Я не особо задумывался об этом, так как всегда думал о определителе как о площади/объеме со знаком всего, что охватывается векторами столбцов (или строк) в матрице. Это легко увидеть в двух измерениях:

Используя тот факт, что объем как функция $\boldsymbol{x}$ является линейным преобразованием, мы знаем, что существует матрица $P=\begin{pmatrix}p_1&p_2&p_3\end{pmatrix}$ такой, что $P\boldsymbol{x} =vol(\boldsymbol{x})$ . Это то же самое, что утверждать, что существует вектор $\boldsymbol{p}=\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}$ такой, что $\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}=vol(\boldsymbol{x})$ . Теперь мы также знаем, что $(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{q})\cdot\boldsymbol{x}=vol(\boldsymbol{x})$ , поэтому, если мы можем решить для $\boldsymbol{p}$ то мы также нашли векторное произведение $\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{q}$ . Злоупотребляя обозначениями и говоря $\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}\textbf{i}\\\textbf{j}\\\textbf{k}\end{pmatrix}$ решаем это уравнение.

Мой вопрос таков: есть ли геометрическая интерпретация формулы для определителя 3x3, как для 2x2? Я знаю, что вы можете вычислить скалярное тройное произведение трех векторов и показать, что это эквивалентно вычислению определителя матрицы с этими тремя векторами в виде столбцов (или строк), но это не объясняет мотивацию формулы так же, как рисунок выше относится к случаю 2x2.

Математлета

Векторное произведение векторов, составляющих основание параллелепипеда, представляет собой вектор, перпендикулярный обоим, норма которого равна площади основания. Скалярная проекция третьего вектора на нормализованное векторное произведение дает высоту параллелепипеда, и тогда легко увидеть, что абсолютное значение тройного произведения равно произведению площади основания на высоту, как и ожидалось.

Джон Хипписли

@Matematleta Да, но есть ли лучший способ увидеть, что процесс вычисления определителя 3x3 дает объем, отличный от простого показа того, что он дает тот же результат, что и вычисление скалярного тройного произведения?

Ответы (2)

Доказательство того, что определитель матрицы 3×33×33 х 3 равен объему параллелепипеда, натянутого на столбцы.

Векторное произведение векторов, составляющих основание параллелепипеда, представляет собой вектор, перпендикулярный обоим, норма которого равна площади основания. Скалярная проекция третьего вектора на нормализованное векторное произведение дает высоту параллелепипеда, и тогда легко увидеть, что абсолютное значение тройного произведения равно произведению площади основания на высоту, как и ожидалось.
@Matematleta Да, но есть ли лучший способ увидеть, что процесс вычисления определителя 3x3 дает объем, отличный от простого показа того, что он дает тот же результат, что и вычисление скалярного тройного произведения?

Режа Адриан Танухарья · Answer 1

Сложение/вычитание одного столбца с другим не меняет определителя, поэтому определитель матрицы $A$ равен определителю диагональной матрицы $B$ , столбцы которых представляют собой линейные комбинации матрицы $A$ колонка:

Б_{\cdot я} "=" \sum с_{я Дж} А_{\cdot Дж} \to | Б | "=" | А |

$B_{\cdot i}=\sum{c_{ij}A_{\cdot j}}\phantom{x}\to\phantom{x}\left|B\right|=\left|A\right|$

Сдвиг любой «поверхности» объекта параллельно любому из его других краев не меняет его $n$ -объем. Таким образом, два объекта, заданные их соответствующим набором вершин ниже, имеют одинаковые $n$ -объем:

\sum п_{я} А_{\cdot я}, п_{я} е {0, 1} \sum д_{я} Б_{\cdot я}, д_{я} е {0, 1}

$\sum{p_{i}A_{\cdot i}}\phantom{x},\phantom{x}p_{i}\in\{0,1\}\\ \sum{q_{i}B_{\cdot i}}\phantom{x},\phantom{x}q_{i}\in\{0,1\}$

С $B$ является диагональной матрицей, то совершенно очевидно, что ее определитель дает $n$ -объем второго объекта сверху. Следовательно, определитель $A$ равен определителю $B$ что равно $n$ -объем второго объекта, равный $n$ объем первого объекта.

Я не понимаю выражение $B_{\cdot i}=\sum{c_{ij}A_{\cdot j}}$ Можете ли вы уточнить это?
@JohnHippisley в основном вы используете исключение Гаусса на матрице $A$ чтобы получить диагональную матрицу $B$
Ах, и при этом сохраняется объем, поскольку, добавляя несколько столбцов, мы просто предварительно формируем сдвиг?
@JohnHippisley да, это правильно :) и как только матрица становится диагональной, определитель становится просто произведением $n$ перпендикулярные векторы, которые дают нам объем
Я пытаюсь выяснить операции со строками, чтобы поместить матрицу в диагональную форму, но не могу ее получить. Не могли бы вы мне помочь?

Мейсон · Answer 2

Обычно у нас так, если $A \in GL(n, \mathbb{R}^n)$ и $S \subset \mathbb{R}^n$ измерима по Борелю (или по Лебегу), то $vol(A(S)) = |\det(A)|vol(S)$ . Эвристическое доказательство нетрудно (для строгого доказательства по теореме Каратеодори достаточно рассмотреть случай, когда $S$ является произведением интервалов, то остальная часть этого эвристического доказательства будет работать). С $\det(E_1E_2) = \det(E_1)\det(E_2)$ , достаточно доказать теорему, когда $A$ является строковой операцией. Если $A$ имеет форму $Ae_j = c_j$ , $c_j \neq 0$ , то геометрически очевидно, что $vol(A(S)) = |c_1|\dots|c_n|vol(S)$ . Если $A$ имеет форму $Ae_j = e_{\sigma(j)}$ , $\sigma \in S_n$ , то геометрически очевидно, что $vol(A(S)) = vol(S)$ . Если $A$ имеет форму $Ae_1 = e_1 + ce_2$ , $Ae_j = e_j$ для $j \geq 2$ , то по теореме Фубини $vol(A(S)) = vol(S)$ .

Доказательство того, что определитель матрицы 3×33×33 х 3 равен объему параллелепипеда, натянутого на столбцы.

Джон Хипписли

Математлета

Джон Хипписли

Ответы (2)

Режа Адриан Танухарья

Джон Хипписли

Режа Адриан Танухарья

Джон Хипписли

Режа Адриан Танухарья

Джон Хипписли

Мейсон

Скалярное тройное произведение - почему эквивалентно определителю?

Линейная независимость векторов и минора матриц

Уникальный u∧vu∧vu\клин v такой, что (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\wedge v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} для всех w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

Найдите треугольную матрицу и определитель.

Определитель треугольной матрицы

Используйте сокращения строк, чтобы показать det(T)=0det(T)=0det(T)=0

Доказательство этого тождества линейной алгебры

Элементарный способ показать, что определитель отличен от нуля

Векторное перекрестное произведение определено только для 3D?

Перекрестное произведение в более высоких измерениях