Определитель треугольной матрицы

Позволять

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{pmatrix}$$

быть вашей верхней треугольной матрицей. Расширяя самый левый столбец, формула расширения кофактора говорит вам, что определитель$A$является

$$a_{11} \cdot \textrm{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{pmatrix}$$ Теперь это меньше $(n-1)$к $(n-1)$матрица также является верхнетреугольной, поэтому вы можете вычислить ее как $a_{22}$раз в $(n-2)$к $(n-2)$верхний треугольный определитель:

$$\textrm{det } A = a_{11} a_{22} \cdot \textrm{det} \begin{pmatrix} a_{33} & a_{34} & \cdots & a_{3n}\\ & a_{44} & \cdots & a_{4n} \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{pmatrix}$$

Повторяя этот аргумент, вы в конечном итоге получите

$$\textrm{Det } A = a_{11} \cdots a_{n-2,n-2} \cdot \textrm{det} \begin{pmatrix} a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\ & a_{nn} \end{pmatrix} = a_{11} \cdots a_{nn}$$

Позволять${\rm U}_n$быть обратимым$n \times n$ верхняя треугольная матрица. Позволять

$${\rm U}_{n+1} := \begin{bmatrix} {\rm U}_n & {\rm c}_{n+1}\\ {\rm 0}_n^\top & u_{n+1}\end{bmatrix}$$

Используя дополнение Шура,

$$\det \left( {\rm U}_{n+1} \right) = \det \begin{bmatrix} {\rm U}_n & {\rm c}_{n+1}\\ {\rm 0}_n^\top & u_{n+1}\end{bmatrix} = \left( u_{n+1} - {\rm 0}_n^\top {\rm U}_n^{-1} {\rm c}_{n+1} \right) \det \left( {\rm U}_{n} \right) = u_{n+1} \det \left( {\rm U}_{n} \right)$$

Позволять${\rm U}_{1} =: u_1$. Следовательно,

$$\begin{aligned} \det \left( {\rm U}_{1} \right) &= u_1\\ \det \left( {\rm U}_{2} \right) &= u_2 \, u_1\\ &\vdots\\ \det \left( {\rm U}_{n} \right) &= \color{blue}{u_n \, u_{n-1}\cdots u_2 \, u_1} \end{aligned}$$

Случай , когда${\rm U}_n$необратима , оставляем читателю в качестве упражнения.

---

матрицы блочные матрицы детерминант дополнения Шура