Доказательство того, что тензор энергии-импульса скалярной теории поля удовлетворяет слабому энергетическому условию

Это вопрос о пространстве-времени и геометрии Шона Кэрролла , где мы должны доказать, что тензор энергии-импульса скалярной теории поля удовлетворяет условию слабой энергии (WEC). Тензор энергии-импульса равен

Т мю ν "=" ∇ мю ф ∇ ν ф − 1 2 г мю ν ( ∇ λ ф ∇ λ ф + В ( ф ) ) ,

и условие для WEC

Т мю ν U мю U ν ≥ 0 ,

где U мю - произвольный непространственноподобный вектор (=временоподобный или нулевой).

Но как это доказать, если неизвестны свойства скалярной полевой переменной ф и потенциал В ( ф ) ?

Вы получили приведенный выше тензор энергии-импульса из лагранжиана, варьируя относительно г мю ν . Что происходит, когда вы отклоняетесь от ф ?
@Jerry Schirmer: Если вы имеете в виду уравнение Эйлера-Лагранжа для полевых переменных, к сожалению, это дает только дифференциальные, а не алгебраические свойства В ( ф ) .
Этот ответ может быть полезен для полного расчета: physics.stackexchange.com/questions/283488/…

Ответы (2)

У меня нет книги, поэтому я не могу проверить его предположения, поэтому это может не совсем ответить на ваш вопрос, поскольку вы спрашиваете о произвольных 4 векторах . U мю , но я предложу его на случай, если что-то из этого окажется полезным. При доказательстве слабого энергетического состояния (что является частью доказательства доминирующего энергетического состояния) рассматриваемые 4 вектора времениподобны. Если это так, я могу попробовать следующее:

Предположим, подпись (- + + +)

Начиная с

Т мю ν "=" ∇ мю ф ∇ ν ф − 1 2 г мю ν ( ∇ λ ф ∇ λ ф + В ( ф ) )

если U мю времениподобна и указывает на будущее, то в любой данной точке мы можем работать в ортонормированной системе отсчета, для которой компоненты U мю "=" ( 1 , 0 , 0 , 0 )

Если мы затем продемонстрируем положительность Т мю ν U мю U ν в этом кадре, то оно будет выполняться в любом кадре, поскольку это скаляр.

Итак, подключив компоненты U мю , мы получаем

Т мю ν U мю U ν "=" ( ∇ 0 ф ) 2 + 1 2 ( г λ р ∇ λ ф ∇ р ф + В ( ф ) )

"=" 1 2 ( ∇ 0 ф ) 2 + дельта я Дж ∇ я ф ∇ Дж ф + В ( ф )

Так предусмотрено В ( ф ) положительный и ф является реальным полем (которым оно, безусловно, является, иначе у вас были бы комплексные сопряжения в тензоре энергии-импульса), то в этой системе отсчета, в этой точке Т мю ν U мю U ν положительный.

Но это всего лишь слабое энергетическое состояние, и вам придется немного поработать, чтобы доказать доминирующее энергетическое состояние.

Вы всегда можете повысить, чтобы вектор U был осью времени (когда он строго пространственно подобен), и тогда выражение для плотности энергии может быть записано явно

Т 00 "=" 1 2 ф ˙ 2 + 1 2 | ∇ ф | 2 + В ( ф )

Это выражение находится путем замены индексов на 0 и явной формы Минковского для метрического тензора. Все вклады явно положительно определены (в предположении, что V ограничено снизу). первый вклад — это кинетическая энергия поля, второй — потенциальная энергия градиента поля, а третий — потенциальная энергия значения поля. Доказать неравенство для нулевых векторов можно, взяв предел того, что вектор становится нулевым.

Что ж, если вектор равен нулю, выражение явно является квадратом действительного числа.
@JerrySchirmer: Как это?
Поскольку для всех нулевых векторов ℓ а ℓ б г а б "=" 0 . Итак, у нас есть Т а б ℓ а ℓ б "=" ℓ а ℓ б ∇ а ф ∇ б ф "=" ( ℓ а ∇ а ф ) 2 .
Доказательство того, что тензор энергии-импульса скалярной теории поля удовлетворяет слабому энергетическому условию
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v