Что предсказывает общая теория относительности для пространства-времени без энергии?

Решения для$G_{\mu\nu}=0$называются вакуумными решениями в ОТО, из этого математически следует, что это происходит тогда и только тогда, когда тензор Риччи обращается в нуль, т. е. решения представляют собой в точности риччи-плоские лоренцевы многообразия. В большинстве известных явных примеров только некоторая область является плоской Риччи (например, вокруг черных дыр Шварцшильда или Керра), но известны некоторые глобальные вакуумные решения без сингулярностей. Их существование противоречит сильному принципу Маха, из которого следует, что Вселенная без материи (сингулярности интерпретируются как вырожденная материя) должна быть плоским пространством-временем Минковского. Одним из примеров является вакуум Оцвата-Шюкинга , описывающий синусоидальную гравитационную волну, другие даны семейством вакуумов Казнера., описывающий причудливые расширяющиеся вселенные без материи. В каснеровских вселенных расширение никогда не может быть изотропным, фактически, если объем в целом расширяется со временем, по крайней мере, одно пространственное направление будет сжиматься.

Однако имейте в виду, что «только пространственно-временной континуум» (нулевое напряжение-энергия и, следовательно, тензор Эйнштейна) не подразумевает «никакой энергии вообще», потому что само гравитационное поле может совершать работу и, следовательно, несет энергию. Например, волны Оцвата-Шюкинга переносят энергию так же, как и электромагнитные волны. «Никакой энергии вообще» означает, что не только$G_{\mu\nu}=0$но даже$\partial_{\alpha}g_{\mu\nu}=0$, т. е. пространство-время локально плоско по Минковскому. Однако даже они могут быть своеобразными, например, локально плоское пространство Дойча-Политцера содержит замкнутые времяподобные кривые («машины времени»).

ОП ищет вакуумные решения уравнений поля Эйнштейна. Включая только космологическую постоянную $\Lambda$, ЭФЭ становятся уравнениями поля Лямбдавакуума ,

Для$\Lambda\neq0$, пространство-время следует рассматривать как искривленное, поскольку (1) не допускает решений в плоском пространстве-времени (ср. Padmanabhan (2003) , pdf). Решения (1) приводят либо к пространству де Ситтера (для$\Lambda>0$) или пространство анти-де Ситтера (для$\Lambda<0$). См. также эту статью NED (также написанную Падманабханом) и эту публикацию Physics.SE .

Для$\Lambda=0$, уравнения вакуумного поля могут быть решены с плоским пространством Минковского , пространством Шварцшильда или пространством Керра (при условии, что мы смотрим на пространство вне некоторой сферы ненулевого радиуса). Решения в этом случае были бы свободными от особенностей, плоскими по Риччи, но не обязательно плоскими по Риману. См. также этот пост Physics.SE .

Уравнения поля Эйнштейна$G_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}$.

Пустая вселенная была бы той, где$T_{\mu\nu}=0$Уравнения поля Эйнштейна тогда читались бы

$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=0$.

Термин 00 этого (для метрики FLRW) равен

$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{\kappa}{a^2}$.

Вы говорите, что хотите, чтобы плотность Вселенной была равна 0, поэтому$\rho=0$. Установка плоской, положительной или отрицательной кривизны ($\kappa = 0/+1/-1$, соответственно), дает вам три дифференциальных уравнения для решения масштабного коэффициента как функции времени ($a(t)=...$).