Докажите, что иссечение с сохранением изометрии похоже на убийство?

Мне кажется, что ваш вопрос не так уж и связан с Полями смерти. Это более общий вопрос. Рассмотрим гладкое векторное поле$X$над гладким (хаусдорфовым) многообразием$M$и предположим, что однопараметрическая группа локальных диффеоморфизмов $\phi$связано с$X$является глобальным (что эквивалентно утверждению, что$X$является полным ). Другими словами, если$x\in M$дифференциальное уравнение

$$\dot{\gamma}_x(t) = X(\gamma_x(t))$$ с начальным условием $$\gamma_x(0)=x$$ допускает (единственное) максимальное решение $\gamma_x= \gamma_x(t)$определено для всех $t \in \mathbb R$.

Имеются достаточные условия, гарантирующие, что$\phi$является глобальным (например, это происходит при условии$M$компактен).

Сюда,$\phi : \mathbb R \times M \ni (t,x) \mapsto \phi_t(x):= \gamma_x(t) \in M$гладкая и четко очерченная. Более того

(1)$\phi_0 = id$

и

(2)$\phi_t \circ \phi_\tau = \phi_{t+\tau}$для каждого$t,\tau \in \mathbb R$.

Рассматриваемый вами случай также требует, чтобы$M$оснащен невырожденной метрикой$g$и$X$является полным $g$-Убийственное векторное поле.

В этом случае каждый$\phi_t : M \to M$является изометрией.

Итак, возвращаясь к общему случаю, справедливо следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Позволять$A \subset M$быть открытым множеством, граница которого$\partial A$является гладкой коразмерностью$1$вложенное подмногообразие гладкого многообразия$M$и$X$гладкое полное векторное поле на$M$. Тогда следующие два факта эквивалентны.

(а)$\phi_t(A) = A$и$\phi_t(M\setminus \overline{A}) = M\setminus \overline{A}$для каждого$t \in \mathbb R$.

(б)$X$касается$\partial A$.

Доказательство .

(1) Докажем, что не (а) не следует (б).

Если ложно то$\phi_t(A) = A$и$\phi_t(M\setminus \overline{A}) = M\setminus \overline{A}$для всех$t$, то должна существовать точка$x_0 \in A$такой, что$\phi_{t_0}(x_0) \not \in A$или точка$x_0 \in M\setminus \overline{A}$такой, что$\phi_{t_0}(x_0) \not\in M \setminus \overline{A}$для некоторых$t_0 \in \mathbb R$. Предположим, что первое верно (второе можно рассматривать аналогично). Предполагать$t_0>0$другой случай аналогичен. Теперь есть две возможности для$\phi_{t_0}(x_0) \not \in A$. Один$\phi_{t_0}(x_0)\in \partial A$и в этом случае определить$s:= t_0$. Другая возможность$\phi_{t_0}(x_0)\in M \setminus\overline{A}$. В этом случае определите

$$s := \sup\{t \in [0,+\infty) \:|\: \phi_\tau(x_0) \in A\:, \quad \tau < t\}\:.$$ Это число существует и конечно (поскольку множество не пусто, так как оно содержит $0$, и $t_0<+\infty$— верхняя граница), строго положительное, не более $t_0$, и опять $\phi_s(x_0) \in \partial A$.

(Действительно, если$\phi_s(x_0)\in A$есть открытый район$\phi_s(x_0)$полностью включен в$A$так что$\phi_\tau(x_0) \in A$также для некоторых$\tau>s$что невозможно для самого определения$\sup$, если$\phi_s(x_0)\in M\setminus \overline{A}$, так как это множество открыто, то была бы открытая окрестность$\phi_s(x_0)$полностью включен в$M\setminus \overline{A}$так что$\phi_\tau(x_0) \not\in A$в некоторых$(s-\epsilon, s]$что опять-таки невозможно для самого определения$\sup$; единственный оставшийся идентификатор дела$\phi_s(x_0) \in \partial A$.)

Докажем, что такой$s$(в обоих случаях) не может существовать, если верно (b). Действительно,$X|_{\partial A}$— корректно определенное гладкое полное векторное поле на гладком многообразии$\partial A$и, следовательно, связанная с этим задача Коши над$\partial A$с начальным условием$\dot{\gamma}(s)= \phi_s(x_0) \in \partial A$в$t=s$допускает полное решение, полностью содержащееся в $\partial A$ также для$t<s$, но теперь эта кривая рассматривается как интегральная линия$X$в$M$определяется однозначно, и мы знаем из гипотезы, что он начинается в$x_0 \not \in \partial A$нахождение противоречия.

(2) Докажем, что не (b) не влечет (a).

Предположим, что (b) ложно, обнаружив, что (a) также ложно. Предположим теперь, что есть$x_0 \in \partial A$такой, что$X(x_0)$является поперечным к$\partial A$. Как$\partial A$является вложенным гладким многообразием,$X$гладкая и не обращается в нуль при$x_0$, нетрудно доказать, что существует координатная заплатка$x^1,x^2,..., x^n$вокруг$x_0$в$M$($n = dim(M)$) такой, что$x_0 \equiv (0,0,\ldots, 0)$,$\partial A$это часть плоскости$x^1=0$содержащиеся на изображении диаграммы, и интегральные кривые$X$кривые$\mathbb R \ni t \mapsto (t,x^2,\ldots,x^n)$(см. последнее ДОПОЛНЕНИЕ ). Так как самолет разделяет$A$от$M \setminus \overline{A}$, видно, что точки есть$A$которые перемещаются в$M \setminus \overline{A}$к$\phi$и наоборот. Поэтому$\phi_t(A) = A$и$\phi_t(M\setminus \overline{A}) = M\setminus \overline{A}$для каждого$t \in \mathbb R$является ложным.

КЭД

Очевидно, если$X$является полным полем Киллинга, результат относится к ассоциированной однопараметрической группе изометрий.

---

ПРИЛОЖЕНИЕ . Я доказываю здесь, что

Лемма . Если$S$встроенный$n-1$-мерное гладкое подмногообразие$n$-мерное гладкое многообразие$M$, и$X$является гладким векторным полем над$M$который не исчезает при$x_0\in S$и не касается (т. е. поперечно)$S$в$x_0$, то есть координатный патч$x^1,x^2,..., x^n$вокруг$x_0$в$M$такой, что$x_0 \equiv (0,0,\ldots, 0)$,$S$это часть плоскости$x^1=0$содержащиеся на изображении диаграммы, и интегральные кривые$X$есть (ограничения вокруг$t=0$из) кривые$\mathbb R \ni t \mapsto (t,x^2,\ldots,x^n)$.

Доказательство . Как$S$вшит, есть координатный патч$(U, \psi)$в$M$вокруг$x_0\in S$такой, что$\psi(S \cap U) = \{ (y^1,\ldots, y^n) \in \psi(U) \:|\: y^1=0\}$и мы всегда можем предположить$\psi(x_0)= (0,\ldots,0)$. Сейчас$X = \sum_a Y^a\frac{\partial}{\partial y^a}$таков, что$Y^1(0,\ldots, 0) \neq 0$да просто так$X$является поперечным к$S$в$x_0$(координаты$y^2,\ldots, y^n$координаты на $S$). Интегральные линии$X$в координатах удовлетворяют$\frac{dy^a}{dt} = Y^a(y^1(t),\ldots, y^n(t))$. Мы свободны исправить$t=0$точно на$S$для всех кривых. Теперь введем координаты$x^2 =y^2,\ldots, x^n=y^n$на$S$и запишем указанные интегральные кривые в виде гладких функций$y^k = y^k(t,x^2,\ldots, x^n)$, где$x^2,\ldots, x^n$обозначает начальную точку на$S$(в$t=0$) рассматриваемой интегральной кривой. Указанное отображение является гладким, как известно из стандартных теорем о гладкой зависимости от начальных данных задач Коши. Наконец определите$x^1=t$. Поскольку матрица Якоби$J=[\frac{\partial y^a}{\partial x^b}]$точно в$x_0$удовлетворяет

$$\det J(x_0) = \frac{\partial y^1}{\partial t}|_{x_0} = Y^1(0,\ldots, 0) \neq 0$$ Теорема Дини доказывает, что $x^1=t$, $x^b= y^b$определить допустимую гладкую систему координат в $M$вокруг $x_0$. В местных координатах $x^1,\ldots, x^n$, часть $S$вход в область координат по-прежнему представлен $x^1=0$(потому что $x^1=t$и все интегральные кривые пересекаются $S$в $t=0$) и, локально, интегральные кривые $X$тривиально ограничения вокруг $t=0$кривых $\mathbb R \ni t \mapsto (t,x^2,\ldots,x^n)$.