Все ли максимально симметричные пространства-времени имеют постоянную кривизну?

Если метрика является римановой (положительной), ваша гипотеза (максимально симметричное пространство-время есть пространство-время с постоянной кривизной) является известной теоремой: Теорема 3.1 в «Группах преобразований в дифференциальной геометрии» С. Кобаяши. Из доказательства мне кажется, что результат должен иметь место и в случае Лоренца, но без более тщательного изучения я не совсем уверен.

Это старый вопрос, но я расширю ответ Вальтера Моретти. Да, максимально симметричные псевдоримановы пространства (в том смысле, что они имеют максимальное число векторных полей Киллинга) являются пространствами постоянной кривизны.

Доказательство находится в Weinberg: Gravitation and Cosmology примерно на странице 376. Аргументы Weinberg не являются полностью строгими, но могут быть сделаны таковыми с помощью теоремы Фробениуса об интегрируемости.

Векторное поле убийства$\xi^\mu$удовлетворяет

Определение$\chi_{\mu\nu}=\nabla_\mu\xi_\nu$, это сводится к переопределенной системе УЧП

Если многообразие допускает максимальное число векторных полей Киллинга, это означает, что приведенная выше система уравнений может быть решена для любого начального значения$\xi_\sigma(x_0)=a_\sigma,\quad\chi_{\mu\nu}(x_0)=b_{\mu\nu}$. Таким образом, уравнение должно быть вполне интегрируемым.

Теорема Фробениуса дает необходимые и достаточные условия полной интегрируемости. На самом деле мы можем использовать полностью ковариантную версию теоремы следующим образом:

1. Сначала составим вторые ковариантные производные уравнения: $$\nabla_\mu\nabla_\nu\chi_{\rho\sigma}=-\nabla_\mu(R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\tau)=-\nabla_\mu R^{\tau}_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\sigma-R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\nabla_\mu\xi_\sigma \\ \nabla_{\mu}\nabla_\nu\xi_\rho=\nabla_\mu\chi_{\nu\rho}.$$
2. Подставляем сюда из уравнения: $$\nabla_\mu\nabla_\nu\chi_{\rho\sigma}=-\nabla_\mu R^{\tau}_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\sigma-R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\chi_{\mu\sigma} \\ \nabla_\mu \nabla_\nu\xi_\rho=-R^\sigma_{\ \mu\nu\rho}\xi_\sigma.$$
3. Функции$\xi_\sigma$и$\chi_{\rho\sigma}$должны удовлетворять тождествам Риччи, поэтому, если мы вычтем из самих приведенных выше уравнений с$\mu,\nu$поменяв местами, мы получим $$-R^\tau_{\ \rho\mu\nu}\chi_{\tau\sigma}-R^\tau_{\ \sigma\mu\nu}\chi_{\rho\tau}=-\nabla_\mu R^{\tau}_{\ \nu\rho\sigma}\xi_\sigma+\nabla_\nu R^{\tau}_{\ \mu\rho\sigma}\xi_\sigma-R^\tau_{\ \nu\rho\sigma}\chi_{\mu\sigma}+R^\tau_{\ \mu\rho\sigma}\chi_{\nu\sigma} \\ -R^\tau_{\ \rho\mu\nu}\xi_\tau=-R^\tau_{\ \mu\nu\rho}\xi_\tau+R^\tau_{\ \nu\mu\rho}\xi_\tau.$$

После манипуляции [могут быть знаковые ошибки, потому что я не проверял соглашения Вайнберга, а использовал свои собственные с тождеством Риччи], это сводится к системе уравнений [я копирую это из Вайнберга]

Эти уравнения должны быть справедливы для любых значений$\xi_\lambda$и любые антисимметричные значения$\chi_{\kappa\lambda}$.

Я не буду писать это явно, но установив$\xi_\lambda=0$и антисимметричность на$\kappa,\lambda$, затем "отмена"$\chi_{\kappa\lambda}$дает набор уравнений (можно найти у Вайнберга). Если мы возьмем след по соответствующей паре индексов, мы найдем

Когда$m>2$($m$— размерность пространства) обычная лемма Шура дает, что$R$должно быть константой. Когда$m=2$можно использовать второй набор условий интегрируемости (положив$\chi_{\kappa\lambda}=0$и$\xi_\lambda$произвольным) вместе с тождеством Бьянки, чтобы показать, что$R$постоянна для$m=2$также.

Таким образом, максимально симметричные пространства также являются пространствами постоянной кривизны. Подпись метрики здесь не играет роли.