Долгосрочное решение для управляемого гармонического генератора

Позволять$F(t)= \cos (\omega_d t)$быть движущей силой гармонического осциллятора массы$m$который затухает с постоянной затухания$b$такой, что$F= -bv$демпфирующая сила, а пружина действует с силой$F=-kx$

2-й ДЭ получается вида:

$$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2 x = \frac{F}{m}\cos(\omega_dt)$$ где $$\beta=\frac{b}{2m}, \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$$ собственная частота осциллятора.

Мой профессор дал долгосрочное решение этой проблемы:

$$x(t)=\frac{F_0 \cos (\omega_d t + \sigma)}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_d^2)^+(\beta \omega_d)^2}}$$ где $$\sigma=\arctan \left(\frac{\beta \omega_d}{\omega_0^2-\omega_d^2}\right)$$ Интересно, не ошибся ли он в выражении для$\beta$и это должно быть$\beta=\frac{b}{m}$вместо$\beta=\frac{b}{2m}$