Положение двух блоков, соединенных пружиной, в зависимости от времени

Question

Положение двух блоков, соединенных пружиной, в зависимости от времени

Болт1954

Два блока А и В соединены пружиной жесткости $k$ . $A$ сообщается начальная скорость $u$ вправо вдоль положительной оси x. Если $B$ были зафиксированы затем движение $A$ можно описать с помощью простого уравнения гармонического движения $x=\sqrt{\frac{m}{k}}u\sin(\omega t)$ . Но здесь $B$ не закреплен и может свободно перемещаться по поверхности без трения. Так, при скорости $A$ уменьшается, скорость $B$ увеличивается. Итак, как мы можем найти положение $A$ и $B$ как функция времени в этой ситуации?

МОЯ ПОПЫТКА :

м ты - к Икс г т "=" м в_{А}

$mu-kx dt = mv_{A}$

к Икс "=" м в_{Б}

$kx=mv_{B}$

\frac{1}{2} м {ты}^{2} "=" \frac{1}{2} к {Икс}^{2} + \frac{1}{2} м в_{А}^{2} + \frac{1}{2} м в_{Б}^{2}

$\frac{1}{2}mu^2=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2_{A}+\frac{1}{2}mv^2_{B}$

( $x$ сжатие пружины в любой момент $t$ )

Но после этого я не знаю, как найти положение $A$ и $B$ .

Обратите внимание, что до сих пор я изучал только ньютоновскую механику и простое гармоническое движение. Поэтому не используйте концепции очень высокого уровня. Также, пожалуйста, дайте мне знать, если я нарушил какие-либо правила домашних заданий. Я прочитал правила домашних заданий и написал этот вопрос. Я надеюсь, что это не появится как вопрос домашнего задания. Тем не менее, если это действительно дайте мне знать, могу ли я как-то его отредактировать. Советы и предложения приветствуются.

Ответы (2)

Положение двух блоков, соединенных пружиной, в зависимости от времени

Джим Хэддок · Answer 1

В этом вопросе очень просто, если мы переместимся в центр масс (COM) кадра (если вы не знаете о COM, идите и прочитайте об этом, а затем продолжите чтение).

Скорость кадра COM

в_{с м} "=" \frac{м {ты}_{а} + м {ты}_{б}}{м + м} "=" \frac{{ты}_{а} + {ты}_{б}}{2} "=" \frac{ты}{2}

$v_{cm}=\frac{mu_a + mu_b}{m+m}= \frac{u_a + u_b}{2} = \frac{u}{2}$ Поскольку внешних сил нет,

v_{c m}

$v_{cm}$ постоянно.
Пусть скорости

A

$A$ и

B

$B$ в центре масс рамы быть

v_{a}

$v_a$ и

v_{b}

$v_b$ . Таким образом,

в_{а} "=" {ты}_{а} - в_{с м} "=" \frac{{ты}_{а} - {ты}_{б}}{2}

$v_a = u_a-v_{cm}= \frac{u_a-u_b}{2}$

в_{б} "=" {ты}_{б} - в_{с м} "=" \frac{{ты}_{б} - {ты}_{а}}{2}

$v_b = u_b-v_{cm}= \frac{u_b-u_a}{2}$ Это значит, что

v_{a} = - v_{b}

$v_a=-v_b$ , что прекрасно! Если вы посмотрите на это некоторое время, вы поймете, что это означает, что тела колеблются в фазе и что их смещения равны и противоположны в системе COM. Вот как это будет выглядеть: Теперь предположим, что позиции

A

$A$ и

B

$B$ в кадре COM:

{Икс}_{а} "=" - α грех (ю т)

$x_a= -\alpha \sin(\omega t)$

{Икс}_{б} "=" α грех (ю т)

$x_b= \alpha \sin(\omega t)$ Записав уравнение силы в COM,

м {\ddot{Икс}}_{а} "=" - к ({Икс}_{а} - {Икс}_{б})

$m\ddot x_a = -k(x_a-x_b)$

⟹ м ю^{2} α грех (ю т) "=" 2 к α грех (ю т)

$\Longrightarrow m\omega^2 \alpha \sin(\omega t)= 2k\alpha \sin(\omega t)$

⟹ ю "=" \sqrt{\frac{2 к}{м}}

$\Longrightarrow \omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}$

Теперь попробуем найти

α

$\alpha$ применяя закон сохранения энергии в системе покоя. Максимальное растяжение весной

2 α

$2\alpha$ что происходит, когда скорости А и В равны

\frac{u}{2}

$\frac{u}{2}$ (т. е. они находятся в состоянии покоя в кадре COM). Применяя закон сохранения энергии, получаем

\frac{к (2 α)^{2}}{2} + 2 \frac{м в_{с м}^{2}}{2} "=" \frac{м {ты}^{2}}{2}

$\frac{k(2\alpha)^2}{2} + 2\frac{mv_{cm}^2}{2}=\frac{mu^2}{2}$

⟹ 2 к α^{2} "=" \frac{м {ты}^{2}}{4}

$\Longrightarrow 2k\alpha^2 = \frac{mu^2}{4}$

⟹ α "=" \frac{ты}{2} \sqrt{\frac{м}{2 к}}

$\Longrightarrow \alpha = \frac{u}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}$
Теперь положение центра масс определяется выражением

x_{c m} = v_{c m} t = \frac{u t}{2}

$x_{cm} =v_{cm}t=\frac{u t}{2}$ . Таким образом, положение А и В:

{Икс}_{а} (т) "=" \frac{ты т}{2} - α грех (ю т)

$X_a(t)= \frac{u t}{2} -\alpha \sin(\omega t)$

{Икс}_{б} (т) "=" \frac{ты т}{2} + α грех (ю т)

$X_b(t)= \frac{u t}{2} + \alpha \sin(\omega t)$ Где

ю "=" \sqrt{\frac{2 к}{м}}

$\omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}$

α "=" \frac{ты}{2} \sqrt{\frac{м}{2 к}}

$\alpha = \frac{u}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}$

Йенс · Answer 2

Поскольку никакие внешние силы не действуют на двухмассовую систему, полный импульс m(Va+Vb) постоянен во времени, и это недостающее уравнение. Кроме того, общий потенциал и кинетическая энергия системы k(Xb-Xa)^2/2+ m(Va^2+Vb^2)/2 остаются постоянными, как вы показали в своем последнем уравнении, где, кажется, вы приняли Vb = Vb0 = 0 при t = 0. Далее центр масс системы движется с постоянной скоростью V = (Va+Vb)/2, поэтому (Xb + Xa)/2 = Xb0/2 + Vt Следовательно, ваши уравнения не совсем полные и в первом, вероятно, есть опечатка . Если переделать, правильный ответ нетрудно рассчитать на основе заданных начальных скоростей и положений обеих масс, но, используя свою интуицию, вы можете вывести симметричное колебательное движение вокруг центра масс, который движется с постоянной скоростью V.

Положение двух блоков, соединенных пружиной, в зависимости от времени

Болт1954

Ответы (2)

Джим Хэддок

Йенс

Долгосрочное решение для управляемого гармонического генератора

Каково значение зажима центра пружины?

Общее решение системы массовых пружин

Как рассчитать потенциальную энергию связанных осцилляторов?

Почему период времени маятника с пружиной постоянной силы kkk и грузом значительной массы mmm на Луне такой же, как и на Земле?

Пружинно-массовая система со сложной жесткостью пружины

Эффективная масса в системе Spring-with-mass/mass

Простое гармоническое движение массы, прикрепленной к вертикальной пружине

Пружина-масса-маятник "по законам Ньютона"

Понимание поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами