Каков период времени работы осциллятора с переменной жесткостью пружины?

Question

Каков период времени работы осциллятора с переменной жесткостью пружины?

dr_mushroom

Хорошо известно, что период гармонического осциллятора, когда масса $m$ и жесткость пружины $k$ постоянны $T=2\pi\sqrt{m/k}$ .

Тем не менее, мне было бы интересно узнать, какой период времени, если $k$ не является постоянным. Я часами искал правильные ответы в Google и ничего не нашел. Я ищу аналитическое решение.

Флорис

Когда вы говорите «не постоянно», вы имеете в виду «k зависит от смещения x»? В этом случае у вас есть так называемый «нелинейный осциллятор» (который вы можете найти в Google. Нет единого «аналитического» решения, а период зависит от амплитуды). Если масса меняется, вы должны задаться вопросом «как»? Масса увеличивается? Каков его импульс, когда он «прибывает»? Уменьшается? Если да, то выбрасывается ли масса одинаково во всех направлениях? Нужны некоторые уточнения...

dr_mushroom

Меня бы заинтересовал общий случай, когда k может зависеть от смещения, времени или любой другой переменной. Это может быть невозможно? Тогда мы могли бы подумать, что k зависит от t --> k(t). Масса не переменная, а постоянная.

dr_mushroom

И, я забыл упомянуть: Амплитуда движения известна в этой ситуации

Флорис

В общем, если k увеличивается со смещением, частота увеличивается при больших амплитудах; если k становится меньше, оно уменьшается. Стандартным примером является «настоящий» маятник, который становится нелинейным при больших смещениях. Это хорошо изучено. Я не знаю общего подхода для "любого" нелинейного генератора, но эти конспекты лекций - только начало.

dr_mushroom

Спасибо Флорис за ответ! Я пытался понять, как я мог бы использовать эти конспекты лекций (я пытался прочитать много конспектов, похожих на те, что вы мне прислали), но должен сказать, что они намного превышают мое понимание, даже если у меня есть некоторое образование в области математики (я я инженер). Этот вопрос является своего рода побочным проектом для моего реального рабочего проекта.

Флорис

К сожалению, если вам нужен общий подход, он довольно быстро становится довольно сложным. Возможно, если вы зададите конкретный вопрос (здесь или на математическом сайте), вы получите конкретный ответ, который будет легче понять и понять.

Ответы (4)

Каков период времени работы осциллятора с переменной жесткостью пружины?

Когда вы говорите «не постоянно», вы имеете в виду «k зависит от смещения x»? В этом случае у вас есть так называемый «нелинейный осциллятор» (который вы можете найти в Google. Нет единого «аналитического» решения, а период зависит от амплитуды). Если масса меняется, вы должны задаться вопросом «как»? Масса увеличивается? Каков его импульс, когда он «прибывает»? Уменьшается? Если да, то выбрасывается ли масса одинаково во всех направлениях? Нужны некоторые уточнения...
Меня бы заинтересовал общий случай, когда k может зависеть от смещения, времени или любой другой переменной. Это может быть невозможно? Тогда мы могли бы подумать, что k зависит от t --> k(t). Масса не переменная, а постоянная.
И, я забыл упомянуть: Амплитуда движения известна в этой ситуации
В общем, если k увеличивается со смещением, частота увеличивается при больших амплитудах; если k становится меньше, оно уменьшается. Стандартным примером является «настоящий» маятник, который становится нелинейным при больших смещениях. Это хорошо изучено. Я не знаю общего подхода для "любого" нелинейного генератора, но эти конспекты лекций - только начало.
Спасибо Флорис за ответ! Я пытался понять, как я мог бы использовать эти конспекты лекций (я пытался прочитать много конспектов, похожих на те, что вы мне прислали), но должен сказать, что они намного превышают мое понимание, даже если у меня есть некоторое образование в области математики (я я инженер). Этот вопрос является своего рода побочным проектом для моего реального рабочего проекта.
К сожалению, если вам нужен общий подход, он довольно быстро становится довольно сложным. Возможно, если вы зададите конкретный вопрос (здесь или на математическом сайте), вы получите конкретный ответ, который будет легче понять и понять.

Капитан Числовой · Answer 1

Вот решение для силы пружины, которая напрямую зависит от смещения. Таким образом, он неявно изменяется со временем, но не имеет явной зависимости от времени или какой-либо другой переменной.

Давности и предположения

осциллятор с массой $m$
амплитуда колебаний $A$
смещение осциллятора, $x$ , меняется со временем, но $x(t)$ неизвестно
пружина прикладывает усилие, изменяющееся в зависимости от смещения, $F(x)$
Функция $F(x)$ нечетная функция, т. $F(-x) = -F(x)$ (иначе амплитуда могла быть разной в положительную и отрицательную сторону - смотрите ниже, что делать в этом случае)
положение равновесия $x=0$ , то есть $F(0) = 0$ (только для удобства)

Цель

Найдите период колебаний, $T$

Решение

Исходя из закона сохранения энергии, сумма кинетической и потенциальной энергии массы должна быть равна полной энергии, которая постоянна.

К Е (Икс) + п Е (Икс) "=" Е

$KE(x)+PE(x)=E$

К Е (Икс) "=" \frac{1}{2} м в^{2} (Икс)

$KE(x)=\frac{1}{2}mv^2(x)$

п Е (Икс) "=" \int_{0}^{Икс} д {Икс}^{'} Ф ({Икс}^{'})

$PE(x)=\intop_0^xdx'\,F(x')$ Так

P E (x)

$PE(x)$ - потенциальная энергия, запасенная в пружине, с

x^{'}

$x'$ как просто переменная интегрирования.
Мы можем думать о

P E (x)

$PE(x)$ как еще один способ определения соотношения силы и смещения пружины. Мы можем определить отношение потенциальной энергии к смещению или силу к смещению, и получить другое довольно просто.

Сейчас на $x=A$ , $KE(x=A)=0$ , так $PE(A)=E$ известен.

Итак, у нас есть

\frac{1}{2} м в^{2} (Икс) "=" п Е (А) - п Е (Икс)

$\frac{1}{2}mv^2(x)=PE(A)-PE(x)$ Решение для

v (x)

$v(x)$ ,

в (Икс) "=" \sqrt{\frac{2}{м} (п Е (А) - п Е (Икс))}

$v(x)=\sqrt{\frac{2}{m}\left(PE(A)-PE(x)\right)}$

Потому что $v=\frac{dx}{dt}$ , мы также можем написать

д т "=" \frac{д Икс}{в (Икс)}

$dt=\frac{dx}{v(x)}$ Интеграция обеих сторон, время уйти от позиции

x_{0}

$x_0$ к

x_{1}

$x_1$ является

Δ т "=" \int_{{Икс}_{0}}^{{Икс}_{1}} \frac{д Икс}{в (Икс)}

$\Delta t = \intop_{x_0}^{x_1}\frac{dx}{v(x)}$ В частности, мы знаем время, необходимое для перехода от

x = 0

$x=0$ к

x = A

$x=A$ является

T / 4

$T/4$ , так

Т "=" 4 \int_{0}^{А} \frac{д Икс}{в (Икс)}

$T=4\intop_0^A\frac{dx}{v(x)}$

Т "=" 4 \int_{0}^{А} \frac{д Икс}{\sqrt{\frac{2}{м}} \sqrt{п Е (А) - п Е (Икс)}}

$T=4\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$ что еще больше упрощает...

Конечный результат

Т "=" \sqrt{8 м} \int_{0}^{А} \frac{д Икс}{\sqrt{п Е (А) - п Е (Икс)}}

$T=\sqrt{8m}\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$

Проверка результата

Для линейного случая $F(x)=kx$ , так $PE(x)=\frac{1}{2}kx^2$ и $PE(A)=\frac{1}{2}kA^2$ , который дает

Т "=" \sqrt{8 м} \int_{0}^{А} \frac{д Икс}{\sqrt{\frac{к}{2}} \sqrt{А^{2} - {Икс}^{2}}} "=" 4 \sqrt{\frac{м}{к}} \int_{0}^{А} \frac{д Икс}{\sqrt{А^{2} - {Икс}^{2}}}

$T=\sqrt{8m}\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{2}}\sqrt{A^2-x^2}} =4\sqrt{\frac{m}{k}}\intop_0^A\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}$ Этот интеграл можно найти в таблице, чтобы получить

Т "=" 4 \sqrt{\frac{м}{к}} ({грех}^{- 1} (1) - с я н^{- 1} (0)) "=" 4 \sqrt{\frac{м}{к}} \frac{π}{2}

$T=4\sqrt{\frac{m}{k}}\left(\sin^{-1}(1)-sin^{-1}(0)\right)=4\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{\pi}{2}$

Т "=" 2 π \sqrt{\frac{м}{к}}

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ как и ожидалось. (КЭД)

Мы можем отказаться от предположения, что $F(x)$ будет нечетным, если мы определим два значения амплитуды: $A_+ > 0$ для амплитуды в положительном направлении и $A_- < 0$ для амплитуды в отрицательном направлении.

Полная энергия осциллятора, $E = PE(A_+) = PE(A_-)$ , так что мы все еще можем назвать это $PE(A)$ пока мы помним, что это значит сейчас.

Тогда период в два раза больше времени, необходимого для перехода от $A_-$ к $A_+$ , и так

Т "=" 2 \int_{А_{-}}^{А_{+}} \frac{д Икс}{\sqrt{\frac{2}{м}} \sqrt{п Е (А) - п Е (Икс)}}

$T=2\intop_{A_-}^{A_+}\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$

Т "=" \sqrt{2 м} \int_{А_{-}}^{А_{+}} \frac{д Икс}{\sqrt{п Е (А) - п Е (Икс)}}

$T=\sqrt{2m}\intop_{A_-}^{A_+}\frac{dx}{\sqrt{PE(A)-PE(x)}}$

Отличный набросок общего каркаса. Более полезен, чем метод Фробениуса в другом ответе, а также обходится без вопроса о сходимости ряда (который необходимо было бы полностью проверить в другом ответе).
+1 - определенно намного практичнее, чем метод Фробениуса, ха-ха. Единственное преимущество, которое я вижу в методе Фробениуса, заключается в том, что вам не нужно $F\left(x\right)$ является нечетной функцией.
Для вас также: Ho** s**t спасибо! Это просто и здорово
Я по-прежнему считаю, что метод Фробениуса — это способ явной зависимости от времени, и его можно распространить и на другие случаи. Я добавил дополнение, объясняющее, что делать, если функция не является нечетной. Я просто думаю, что исходное объяснение проще, если «амплитуда» по-прежнему означает то, с чем мы знакомы из линейного осциллятора.

Эрик Р. Аншуец · Answer 2

Из второго закона Ньютона имеем (будь то $k$ постоянна или нет), что:

м \ddot{Икс} + к Икс "=" 0

$\begin{equation} m\ddot{x}+kx=0 \end{equation}$ Единственная разница в том, будет это или нет

k

$k$ является функцией

t

$t$ или нет. Если это функция

t

$t$ , единственный общий способ решить это дифференциальное уравнение - использовать разложения Тейлора. Возьмем:

Икс (т) "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} а_{н} т^{н}

$\begin{equation} x\left(t\right)=\sum_{n=0}^\infty a_nt^n \end{equation}$ и:

к (т) "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} б_{н} т^{н}

$\begin{equation} k\left(t\right)=\sum_{n=0}^\infty b_nt^n \end{equation}$ Тогда наше дифференциальное уравнение принимает вид:

\begin{aligned} м \ddot{Икс} + к Икс & "=" 0 \\ ⟹ \sum_{н "=" 2}^{\infty} м н (н - 1) а_{н} т^{н - 2} + (\sum_{н "=" 0}^{\infty} б_{н} т^{н}) (\sum_{н "=" 0}^{\infty} а_{н} т^{н}) & "=" 0 \\ ⟹ \sum_{н "=" 0}^{\infty} [м (н + 2) (н + 1) а_{н + 2} + \sum_{я "=" 0}^{н} а_{я} б_{н - я}] т^{н} & "=" 0 \\ ⟹ м (н + 2) (н + 1) а_{н + 2} + \sum_{я "=" 0}^{н} а_{я} б_{н - я} & "=" 0 \forall н \\ ⟹ а_{н + 2} & "=" - \frac{\sum_{я "=" 0}^{н} а_{я} б_{н - я}}{м (н + 2) (н + 1)} \forall н \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} m\ddot{x}+kx&=0\\ \implies\sum_{n=2}^\infty mn\left(n-1\right)a_nt^{n-2}+\left(\sum_{n=0}^\infty b_nt^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty a_nt^n\right)&=0\\ \implies\sum_{n=0}^\infty\left[m\left(n+2\right)\left(n+1\right)a_{n+2}+\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}\right]t^n&=0\\ \implies m\left(n+2\right)\left(n+1\right)a_{n+2}+\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}&=0\forall n\\ \implies a_{n+2}&=-\frac{\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}}{m\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\forall n \end{aligned} \end{equation}$ Как

k (t)

$k\left(t\right)$ известно всем

b_{n}

$b_n$ известны, и если мы знаем два наших начальных условия, два из

a_{n}

$a_n$ известны (скажем

a_{0}

$a_0$ и

a_{1}

$a_1$ ). Используя это рекуррентное соотношение, можно считать все

a_{n}

$a_n$ -- то есть известны все коэффициенты ряда Тейлора для

x

$x$ . В этом сверхобщем случае вы не можете видеть слишком многого аналитически (чтобы найти период, нужно было бы найти

k (t)

$k\left(t\right)$ что произвело

a_{n}

$a_n$ такой, что

x (t)

$x\left(t\right)$ была периодической, и считать период с этой функции), но хорошей проверкой работоспособности является проверка того, восстанавливаем ли мы тот же ответ, когда

k

$k$ является константой

k_{c}

$k_c$ ; то есть, когда

b_{0} = k_{c}

$b_0=k_c$ и

b_{n} = 0

$b_n=0$ для всех

n > 0

$n>0$ . В этом случае мы находим, что:

\begin{aligned} а_{2} & "=" - \frac{а_{0} к_{с}}{2 м} \\ а_{3} & "=" - \frac{а_{1} к_{с}}{6 м} \\ а_{4} & "=" \frac{а_{0} к_{с}^{2}}{24 м^{2}} \\ ⋮ \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} a_2&=-\frac{a_0k_c}{2m}\\ a_3&=-\frac{a_1k_c}{6m}\\ a_4&=\frac{a_0k_c^2}{24m^2}\\ &\vdots \end{aligned} \end{equation}$ Следуя закономерности, мы замечаем, что

a_{n}

$a_n$ даже для

n

$n$ дать ряд Тейлора для

a_{0} \cos (\sqrt{\frac{k_{c}}{m}} t)

$a_0\cos\left(\sqrt{\frac{k_c}{m}}t\right)$ и

a_{n}

$a_n$ для нечетных

n

$n$ дать ряд Тейлора для

a_{1} \sin (\sqrt{\frac{k_{c}}{m}} t)

$a_1\sin\left(\sqrt{\frac{k_c}{m}}t\right)$ , что дает угловую частоту

\sqrt{\frac{k_{c}}{m}}

$\sqrt{\frac{k_c}{m}}$ и, следовательно, период

2 π \sqrt{\frac{m}{k_{c}}}

$2\pi\sqrt{\frac{m}{k_c}}$ .

+1 Смотрите ответ пользователя 89613 как дополнение к вашему.
Черт возьми, спасибо Captain Numerical и Eric R. Anschuetz!

Гуилл · Answer 3

Гуилл

Чтобы получить какой-то практический ответ, вы должны определить, как меняется k. Например, если k зависит от температуры, я бы определил его значение при -50, 0 и 50 градусах, затем использовал эти значения и вычислил T (который изменяется обратно пропорционально квадратному корню из k). Я бы использовал больше точек, если требуется более высокая точность. Если требуется формула, я бы использовал «кривую наилучшего соответствия» через точки, чтобы сгенерировать ее.

dr_mushroom

Я с удовольствием покажу вам, что я делаю после того, как получу предварительные результаты. Проблема была связана с заполнением цилиндра жидкостью. Цилиндр имеет также поршень. Этот поршень толкается вниз под действием веса, который сбрасывается сверху. Весь этот процесс можно довольно точно описать уравнением mx''(t)+k(p)x(t)=0, в котором k зависит от давления. Эта зависимость k от давления связана с тем, что жесткость жидкости зависит от давления (да, это действительно так, давление составляет тысячи бар). Таким образом, жидкость действует как пружина. Тогда вопрос в том, как получить k(p) -> k(x)..

dr_mushroom

Хитрость здесь в том, что я также знаю это, потому что я измерил x(t) и соответствующее p(t). Думаю, исходя из этих знаний, я могу вычислить k(x). Почему меня это так интересует? Потому что я хотел бы измерить жесткость этой пружины по периоду колебаний. И я мог бы сделать это сейчас, когда ты мне помог

dr_mushroom

И чуть не забыл сказать: груз сбрасывал с разной высоты, поэтому я знаю период колебаний при разных "импульсах" давления..

dr_mushroom

И какой здесь может быть практический результат? Просто знать, как это устройство работает теоретически, а не только практически

Пшемо · Answer 4

Хорошо, насколько мне известно, в некоторых случаях с постоянной пружины, зависящей от времени, известно решение в закрытой форме. Одним из моих любимых является следующее, где постоянная пружины является степенной функцией. Предположим, что $k/m = \omega^2/t^\beta$ где $\omega \in {\mathbb R}$ и $\beta \ge 0$ . Тогда рассматриваемое ОДУ принимает вид:

{\ddot{Икс}}_{т} + \frac{ю^{2}}{т^{β}} {Икс}_{т} "=" 0

$\begin{equation} \ddot{x}_t + \frac{\omega^2}{t^\beta} x_t = 0 \end{equation}$ и имеет следующие линейно независимые решения:

\sqrt{т} {Дж}_{\pm \frac{1}{2 β - 2}} [\frac{ю}{β - 1} т^{1 - β}]

$\begin{equation} \sqrt{t} J_{\pm \frac{1}{2 \beta-2}}\left[\frac{\omega}{\beta-1} t^{1-\beta} \right] \end{equation}$ где

J_{\cdot} []

$J_\cdot[]$ является функцией Бесселя.

Результат доказан несколькими различными способами в https://math.stackexchange.com/questions/673737/solution-to-a-second-order-ordinary- Differential-Equation .

Быстрое и грязное «доказательство» дается следующим кодом Mathematica:

In[166]:= w =.; b =.; t =.;
Table[FullSimplify[(D[#, {t, 2}] + w^2/t^(2 b) #) & /@ {Sqrt[
      t] BesselJ[eps/(2 b - 2), w/(b - 1) t^(1 - b)]}], {eps, -1, 1, 
  2}]

Out[167]= {{0}, {0}}

Теперь, сказав все это, было бы естественно обобщить наше ОДУ, заменив степенную функцию линейной комбинацией двух степенных функций. Другими словами, мы ищем решения для следующего ОДУ:

{\ddot{Икс}}_{т} + (\frac{ю_{1}^{2}}{т_{1}^{β}} + \frac{ю_{2}^{2}}{т_{2}^{β}}) {Икс}_{т} "=" 0

$\begin{equation} \ddot{x}_t + \left(\frac{\omega_1^2}{t^\beta_1} + \frac{\omega_2^2}{t^\beta_2}\right)x_t = 0 \end{equation}$

Я долго пытался решить эту проблему без каких-либо значительных успехов (однако см. это https://math.stackexchange.com/questions/1018897/an-ordinary- Differential-equation-with-time-varying-coefficients). Обычный способ «вставить результат в Mathematica» или «спросить математика» ни к чему не привел. Как обычно математика отстает от физики на несколько десятков лет и уже никогда не догонит... ;-).

Каков период времени работы осциллятора с переменной жесткостью пружины?

dr_mushroom

Флорис

dr_mushroom

dr_mushroom

Флорис

dr_mushroom

Флорис

Ответы (4)

Капитан Числовой

Давности и предположения

Цель

Решение

Конечный результат

Проверка результата

Селена Рутли

Эрик Р. Аншуец

dr_mushroom

Капитан Числовой

Эрик Р. Аншуец

Селена Рутли

dr_mushroom

Гуилл

dr_mushroom

dr_mushroom

dr_mushroom

dr_mushroom

Пшемо

Долгосрочное решение для управляемого гармонического генератора

Нахождение периода ангармонического колебания путем подстановки решения для СГМ

Запись уравнения для амплитуды ведомого гармонического осциллятора в лоренцевской форме

Положение двух блоков, соединенных пружиной, в зависимости от времени

Является ли обычное решение вынужденного гармонического движения просто особым решением?

Простое гармоническое движение: почему период не зависит от амплитуды, даже если угловая скорость связана с амплитудой?

Подробнее о замкнутой форме простого маятника

Начальные условия затухающего гармонического движения

Независимость периода и амплитуды в простом гармоническом движении

Точное уравнение экспоненциальных кривых недодемпфированного гармонического движения