Должны ли мы пропустить явную регуляризацию в процессе перенормировки?

В процессе перенормировки регуляризация обычно упоминается как необходимая для укрощения бесконечностей, встречающихся в квантовой теории поля. Действительно ли необходима явная регуляризация?

Возьмем, к примеру, фермионный пропагатор.

$$G = \frac{i}{\not{p}-m_0 - \Sigma(\not{p})+i\epsilon} = \frac{i}{(1-b(p^2))\not{p}-(m_0 + a(p^2)) + i\epsilon},$$ где собственная энергия выражается как $$\Sigma(p) = a(p^2) + b(p^2)\not{p}.$$ Пропагатор имеет полюс в $$(1-b(p^2))^2p^2-(m_0 + a(p^2))^2 = 0$$ то есть $$p = m_p = \frac{m_0 + a(m_p^2)}{1-b(m_p^2)},$$ где$m_0$голая масса (бесконечная) и$m_p$физическая масса (конечная).

Вышеупомянутый пропагатор фермиона можно перестроить, введя модифицированную собственную энергию$\hat{\Sigma}(\not{p})$так что

$$G = \frac{iZ}{\not{p}-m_p - \hat{\Sigma}(\not{p})+i\epsilon},$$ где$\hat{\Sigma}(\not{p})$определяется как $$Z^{-1}\hat{\Sigma}(\not{p}) = [a(p^2)-a(m_p^2)] + [b(p^2)-b(m_p^2)]\not{p},$$ и $$Z = \frac{1}{1-b(m_p^2)}.$$

Обратите внимание, что разница$a(p^2)-a(m_p^2)$конечно, хотя$a(p^2)$и$a(m_p^2)$индивидуально бесконечны. Если мы будем следовать режиму использования конечных разностей (т.е.$a(p^2)-a(m_p^2)$) и измеряемые величины (т.е.$m_p$), то явные схемы регуляризации (такие как широко используемая размерная регуляризация) вообще не нужны.

Конечно, можно следовать той же процедуре в другом энергетическом масштабе (шкала перенормировки$\mu$), а не в масштабе физической массы ($m_{p}$).

Добавлено примечание о разнице между двумя бесконечными величинами. Возьмите следующий пример,

$$\int_{0}^r \frac{1}{x}dx - \int_{0}^{r_0} \frac{1}{x}dx = \int_{r_0}^r \frac{1}{x}dx = \ln(\frac{r}{r_0}).$$ Жесткие математики будут с подозрением относиться к первому шагу и потребуют некоторой формы регуляризации. Действительно ли физики, хотя их и не беспокоит отсутствие математической строгости в таких вещах, как интеграл по путям, нуждаются в формальной явной регуляризации для получения окончательного результата?

Описанную выше процедуру можно назвать неявной регуляризацией. Подобная идея уже была подхвачена некоторыми исследователями (см. подход Джекива , подход австралийской школы и подход бразильской школы ), хотя и в иной форме, чем здесь. Достоинство неявной регуляризации состоит в том, что она обходит различные ловушки, препятствующие явной регуляризации, например, нарушение калибровочной инвариантности при регуляризации обрезания или$\gamma^5$проблема размерной регуляризации.

Итак, мой вопрос:

1. В свете упомянутого выше порока явной регуляризации (более того, учитывая хитросплетения и ловушки, явная регуляризация часто вызывает недоумение, а не разъяснение, когда перенормировка преподается в учебниках), должны ли мы пропустить ее в процессе перенормировки?
2. Как разные схемы неявной регуляризации ( Jackiw , австралийская и бразильская школы ) соотносятся друг с другом?