Калибровочная инвариантность неабелевых теорий при регуляризации Паули-Вилларса

В абелевом случае фотонный пропагатор при регуляризации Паули-Вилларса имеет вид

$$\frac{1}{k^2}\rightarrow\frac{1}{k^2}- \frac{1}{k^2-{\Lambda^2}}$$ что в основном $1/(k^2- \Lambda^{-2}k^4)$. Наличие лишнего члена в пропагаторе можно получить, дополнив лагранжиан лишним членом $$\frac{1}{2\Lambda^2}\Box A_\mu\Box A^\mu$$ которые с помощью калибровки Лоренца можно преобразовать в $$\frac{1}{2\Lambda^2}\partial^\nu F_{\nu\mu}\partial_\sigma F^{\sigma\mu}$$ как $$\partial_\sigma F^{\sigma\mu}=\partial_\sigma(\partial^\sigma A^\mu-\partial^\mu A^\sigma)$$ и, используя калибровку Лоренца, второй член можно опустить. Теперь выражение $\frac{1}{2\Lambda^2}\partial^\nu F_{\nu\mu}\partial_\sigma F^{\sigma\mu}$является U (1) инвариантным как $F^{\nu\mu}$является U(1)-инвариантным, поэтому регуляризация Паули-Вилларса сохраняет калибровочную инвариантность в абелевом случае.

В случае Янга-Миллса такой термин, как$\frac{1}{2\Lambda^2}\Box A_\mu\Box A^\mu$нарушает калибровочную инвариантность из-за наличия простой производной вместо ковариантной производной. Невозможно преобразовать этот член каким-либо калибровочным преобразованием в форму, которая имеет явную калибровку$covariance$. Калибровочная инвариантность может быть получена только путем соответствующей модификации лагранжиана для случая Янга-Миллса, что не следует из процедуры Паули-Вилларса.

Требование ковариантной производной в неабелевом случае для калибровочной инвариантности вытекает из того факта, что в неабелевом случае напряженность поля Янга-Миллса однородно преобразуется при калибровочном преобразовании как$F\rightarrow UFU^{-1}$в отличие от абелева случая, когда он калибровочно инвариантен. Ковариантная производная имеет тот же закон преобразования, что и поле при калибровочном преобразовании, как$D\rightarrow UDU^{-1}$, поэтому комбинация$D_\mu F_{\mu\nu}$будет преобразовываться однородно, чего не будет, если мы будем использовать частную производную вместо ковариантной производной. Под термином следа в лагранжиане, который включает в себя пару таких членов, можно использовать циклическое свойство следа, чтобы показать, что член (подобный упомянутому ниже) не зависит от калибровочного преобразования.

Требование калибровочно-инвариантного члена в лагранжиане будет включать член с более высокой ковариантной производной, такой как$tr(\frac{1}{\Lambda^2}D_\alpha F_{\mu\nu}D_\alpha F_{\mu\nu})$.

Эта модифицированная форма регуляризации Паули — Виллара использовалась А. А. Славновым в Nucl. физ. Б, 31, 301 (1971).