Два алгебраически замкнутых поля изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую степень трансцендентности над своими простыми полями.

Позволять$M, N$— изоморфные алгебраически замкнутые поля над простым полем$k$. Для простоты предположим, что$k \subseteq M, N$. Сказать$\sigma : M \mapsto N$наш изоморфизм. Заметить, что$\sigma$сохраняет основное поле$k$. Более того, образ трансцендентной основы$M$над$k$является трансцендентной основой$N$над$k$(см. доказательство ниже). Следовательно,$M$изоморфен$N$подразумевает, что$M$и$N$имеют одинаковую степень трансцендентности.

доказательство
Пусть$t_1, \dots, t_n$быть основой трансцендентности$M$над$k$.
Во-первых, мы проверяем, что$\sigma(t_1), \dots, \sigma(t_n)$алгебраически независим над$k$:

Если нет, то существует ненулевой многочлен$P \in k[X_1, \dots, X_n]$такой, что$P(\sigma(t_1), \dots, \sigma(t_n) ) = 0$. Но с тех пор$P$имеет коэффициенты в$k$, это означает, что$P(t_1, \dots, t_n) = 0$, противоречие!

Затем покажем, что любой элемент$N$является алгебраическим над$\sigma(t_1), \dots, \sigma(t_n)$:
пусть$b \in N$. Элемент$a := \sigma^{-1}(b)$является алгебраическим над$t_1, \dots, t_n$т.е. есть многочлен$P(X) \neq 0$с коэффициентами в$k(t_1, \dots, t_n)$такой, что$P(a) = 0$.
Писать$P^\sigma$для многочлена с коэффициентами в$k(\sigma(t_1), \dots, \sigma(t_n))$полученный путем применения$\sigma$ко всем коэффициентам$P$. У нас есть$P^\sigma \neq 0$и$P^\sigma(b) = P^\sigma(\sigma(a)) = \sigma(P(a)) = 0$:$b$является алгебраическим над$\sigma(t_1), \dots, \sigma(t_n)$, откуда иск.$\square$

Для другой импликации рассмотрим два алгебраически замкнутых поля над простым полем$k$с той же степенью трансцендентности$n$. Позволять$t_1, \dots, t_n$(отв.$u_1,\dots, u_n$) быть основой трансцендентности$M$(отв.$N$). Рассмотрим изоморфизм$\tau : k(t_1, \dots, t_n) \mapsto k(u_1, \dots, u_n)$отправка$t_i$к$u_i$для всех$i$. Этот изоморфизм продолжается до изоморфизма$\sigma : M \mapsto N$последовательным присоединением алгебраических элементов.