Почему корневое расширение имеет замыкание Галуа?

Ниже приведены определение и лемма (лемма 14.38 в « Абстрактной алгебре » Даммита).

Определение. элемент$\alpha$может быть выражена в радикалах или решена в терминах радикалов, если$\alpha$является элементом поля$K$которое может быть получено последовательностью простых радикальных расширений

$$\begin{equation} F=K_0\subsetneq K_1\subsetneq\cdots\subsetneq K_i\subsetneq K_{i+1}\subsetneq\cdots\subsetneq K_s=K \end{equation}$$ где$K_{i+1}=K_i(\sqrt[n_i]{a_i})$для некоторых$a_i\in K_i$и$n_i\in\mathbb N^*$,$i=0,1,\ldots,s-1$. Здесь$\sqrt[n_i]{a_i}$обозначает некоторый корень многочлена$x^{n_i}-a_i$. Такое поле$K$будет называться корневым расширением$F$.

Лемма. Позволять$F$быть полем характеристики$0$. Если$\alpha$содержится в корневом расширении$K$как в определении выше, то$\alpha$содержится в корневом расширении Галуа над$F$и где каждое расширение$K_{i+1}/K_i$является циклическим.

Доказательство начинается с этого:

Доказательство: пусть$L$быть замыканием Галуа$K$над$F$. ...

Но как я узнаю, что есть замыкание Галуа$L$? Я думаю, что доказательство того, что существует замыкание Галуа$L$должно идти так.

1. Все$K_{i+1}/K_i$является конечным расширением.
2. Все$K_{i+1}/K_i$является отделимым расширением.
3. Таким образом$K/F$является конечным сепарабельным расширением, так как конечность и сепарабельность расширений транзитивны.
4. Все конечное сепарабельное расширение имеет замыкание Галуа, поэтому$K/F$имеет замыкание Галуа.

Я не смог доказать 2. Если$K_{i+1}$является полем разложения минимального многочлена$m_{\sqrt[n_i]{a_i},K_i}(x)$, затем$K_{i+1}/K_i$Галуа, так как это поле разложения сепарабельного многочлена, поэтому оно сепарабельно. Но я не знаю, действительно ли это разделяющее поле.