Измерения с полями и подполями

Исправить поле$F$и подполе$K \subseteq F$. Также рассмотрим матрицу$A \in M_{m,n}(K)$. Определять$V_{K} = \{x \in K^n: Ax=0\}$. Это векторное пространство над$K$. Определять$V_{F} = \{x \in F^n: Ax=0\}$. Это векторное пространство над$F$.

Докажи это$dim_{K}(V_{K}) = dim_{F}(V_{F})$.

Первоначально я собирался подойти к этому с помощью теоремы ранга-недействительности, так как это, кажется, было связано с ядром, но есть подсказка, которая говорит, как исключение Гаусса для A отличается от записей в$F$. Я немного смущен тем, как исключение Гаусса вообще связано с этой проблемой. Любые советы о том, как сделать это доказательство? Спасибо.