Объем Вселенной с k=+1k=+1k=+1

В сферических координатах пространственная часть метрики имеет вид

$$\text{d}\sigma^2 = a^2\left(\frac{\text{d}r^2}{1-kr^2} + r^2\text{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\text{d}\varphi^2\right).$$ Вы можете получить это, используя $$\begin{align} \boldsymbol{x}^2 &= r^2,\\ \text{d}\boldsymbol{x}^2 &= \text{d}r^2 + r^2\text{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\text{d}\varphi^2,\\ \boldsymbol{x}\cdot \text{d}\boldsymbol{x} &= r\text{d}r. \end{align}$$ Если $k=1$, мы можем использовать замену $r=\sin\chi$переписать это как $$\text{d}\sigma^2 = g_{ij}\text{d}x^i \text{d}x^j = a^2\left(\text{d}\chi^2 + \sin^2\chi\text{d}\theta^2 + \sin^2\chi\sin^2\theta\text{d}\varphi^2\right),$$ с $(x^1,x^2,x^3) = (\chi,\theta,\varphi)$. Это метрика 3-сферы, выраженная в гиперсферических координатах . Полный объем 3-сферы равен $$V = \int_{S^3}\sqrt{|\det g|}\,\text{d}\chi\text{d}\theta\text{d}\varphi = a^3\int_0^\pi\sin^2\chi\text{d}\chi\int_0^{\pi}\sin\theta\text{d}\theta\int_0^{2\pi}\text{d}\varphi = 2\pi^2a^3.$$

Большое спасибо, мистер Пульсар, за подробное и точное объяснение. Пока я ждал ответа, мне пришло в голову обратиться к статье об n-сфере в Википедии . Там я заметил, что выражение для границы n-ball выглядит так:

$$S_{n-1} = \frac{2 \pi^{\frac n 2}}{\Gamma \left (\frac n 2 \right )} \, R^{n-1}$$

Выражение, которое при конкретизации n=4, R=a совпадает с

$$2 \pi^2 a^3$$

Я подумал, что объяснение этого здесь может быть полезно для других, которые консультируются по этой теме. Но я предпочитаю вашу демонстрацию, еще раз спасибо и с наилучшими пожеланиями.