Два "наблюдателя Робертсона-Уокера", скорость бейсбольного мяча, видимая вторым наблюдателем прямо перед тем, как его поймали?

На протяжении всего вопроса я буду использовать$p(T_1)$и$p(T_2)$для обозначения 4-импульса бейсбольного мяча в моменты времени$T_1$и$T_2$,$\mathbf{v}_1$и$\mathbf{v}_2$для представления пространственной составляющей его физической скорости, и$a(T_1)$и$a(T_2)$для представления масштабного фактора Вселенной в это время.

Однородность и изотропность Вселенной означают, что независимо от того, в каком направлении бейсбольный мяч брошен сопутствующим наблюдателем , он будет следовать геодезической в ​​пространстве-времени FRW, которая является «радиальной» траекторией в том смысле, что

$$\begin{equation} ds^2 = -dT^2 + a^2(T) \: d\chi^2, \end{equation}$$

и

$$\begin{equation} \dot{p}_{\chi} = 0, \end{equation}$$

где$\chi$- радиальная координата FRW такая, что$d\chi = dr/\sqrt{1-Kr^2}$для сопутствующей кривизны$K$, и$p_{\chi}$является компонентом 4-импульса бейсбольного мяча в этом направлении. Точка обозначает производную по собственному времени.

Математически это условие на$p_{\chi}$можно увидеть, понизив индексы на геодезическом уравнении$\dot{p}^a+\Gamma^a_{bc}p^bp^c=0$и перемаркировка фиктивных индексов для получения

$$\begin{equation} \dot{p}_a = \frac{1}{2}(\partial_a g_{bc})p^bp^c. \end{equation}$$

Поскольку метрика здесь не зависит от$\chi$, Мы видим, что$p_{\chi}$постоянна вдоль геодезической.

Интуитивно, поскольку Вселенная расширяется от каждой точки, она расширяется от наблюдателя 1 во всех направлениях, поэтому все направления соответствуют броскам по радиальной траектории.

Зная это, мы хотим сформулировать задачу в терминах ковариантных составляющих импульса, поэтому мы будем использовать соответствующий линейный элемент для массивного бейсбольного мяча,

$$\begin{equation} g^{\mu \nu}p_{\mu} p_{\nu} = -m^2 = -p_T^2(T_1) + \frac{1}{a^2(T_1)} p_{\chi}^2 \end{equation}$$ $$\begin{equation} -m^2 = -p_T^2(T_2) + \frac{1}{a^2(T_2)} p_{\chi}^2. \end{equation}$$

Масса не имеет малой скорости, поэтому, используя специально-релятивистское условие массы-оболочки$E^2 = m^2+|\mathbf{p}|^2$, мы получаем

$$\begin{equation} m^2 = p_T^2(T_1) - |\mathbf{p_1}^2| \end{equation}$$

$$\begin{equation} m^2 = p_T^2(T_2) - |\mathbf{p_2}^2|. \end{equation}$$

Замена этих$m^2$в элемент строки, отменяя$p_T^2$и, взяв соотношение двух уравнений, дает

$$\begin{equation} \frac{|\mathbf{p_2}^2|}{|\mathbf{p_1}^2|} = \frac{a^2(T_1) p_{\chi}(T_2)}{a^2(T_2) p_{\chi}(T_1)}. \end{equation}$$

Но, как обсуждалось ранее,$p_{\chi}$сохраняются вдоль геодезической, а значит, сокращаются! Наконец, поскольку масса сохраняется, мы можем записать пространственные импульсы через пространственные скорости как

$$\begin{equation} \frac{\gamma_1 |\mathbf{v}_1|}{\gamma_2 |\mathbf{v}_2|} = \frac{a(T_2)}{a(T_1)}. \end{equation}$$

Это дает$|\mathbf{v}_2|$с точки зрения$|\mathbf{v}_1|$как требуется.

Эта картина разделенной во времени Вселенной должна помочь визуализировать ситуацию. Красные линии — сопутствующие наблюдатели, синяя линия — траектория бейсбольного мяча, а черные стрелки — пространственные компоненты скорости бейсбольного мяча в моменты времени.$T_1$и$T_2$.