Два объекта брошены в черную дыру. Первый пересекает горизонт событий в конце времени, а когда пересекает второй?

Заманчиво рассматривать бесконечность как число, т.е. есть время$t=\infty$, но бесконечность не является числом. Напротив, это предел, и это предел, который никогда не может быть достигнут. Если мы построим график радиального расстояния нашего падающего объекта в зависимости от времени, мы получим что-то вроде:

Но$t$ось никогда не заканчивается, и красная линия никогда не пересекается с ней. Так что нет конца времени , которое вы можете обозначить$\infty$и падающий объект никогда не достигает горизонта событий.

Это проблема с вашим вопросом. Нет смысла спрашивать, насколько позже второй объект встречается с горизонтом, потому что ни один объект никогда не встречается с горизонтом.

По общему признанию, у физиков есть привычка помещать бесконечность в свои диаграммы пространства-времени — они известны как диаграммы Пенроуза — но понятно, что это показывает предел, а не фактическое время или расстояние.

Вопреки текущему голосованию, это отличный вопрос!

Прежде всего прочитайте ответ Джона Ренни, его опасения вполне оправданы, и любой ответ, осмеливающийся выйти за рамки его ответа, следует рассматривать с большой осторожностью.

Во-вторых, ваш вопрос и текущие ответы основаны на точке зрения наблюдателя вне черной дыры. Вы должны различать а) восприятие наблюдателя (то, что он мог видеть) и б) пространственно-временную диаграмму наблюдателя, которая не является одной и той же (в его пространственно-временной диаграмме вы можете прочитать, что является одновременным для наблюдателя и т. д.). Важно отметить, что явление одинаково с обеих точек зрения: а) наблюдатель наблюдает, как падающий объект вечно остается за пределами горизонта событий, и в равной степени б) в соответствии с его относительной концепцией одновременности (пространственно-временная диаграмма) это относится ко всем падающим предметам.

Таким образом, мы могли бы закрыть файл, заявив, что оба объекта никогда не достигнут горизонта событий. Однако мы должны осознавать тот факт, что этот ответ не так свободен от сомнений, как кажется: мы знаем, что падающие наблюдатели не воспринимают бесконечное время перед горизонтом событий. С их точки зрения, они достигают (и пересекают?) горизонт событий за конечное время. Однако их пространственно-временная диаграмма (см. выше b)) подскажет им, что одновременно с пересечением ими горизонта событий внешняя часть горизонта событий подошла к концу.

Любопытно заметить, что все остальные наблюдатели Вселенной (и все другие объекты и частицы, если рассматривать их как наблюдателей) испытывают то же самое: все объекты Вселенной достигают всех горизонтов событий Вселенной одновременно с окончанием время (согласно их соответствующей относительной пространственно-временной диаграмме, см. выше b)).

Итак, в результате мы могли бы сказать: бесконечное время — это не математически определенный момент. Но мы должны осознавать тот факт, что бесконечность может играть определенную роль в логике Вселенной.

Другими словами, первый объект пересекает горизонт событий прямо в самом конце времени.

Предполагая решение черной дыры Шварцшильда, координаты Шварцшильда$r,t$не отображают весь горизонт событий, т. е. одно событие (для простоты опущены угловые координаты) отображается на$r = 2M, -\infty \lt t \lt \infty$.

Так что это не тот случай, когда пробная частица в этой геометрии пересекает горизонт в «самом конце времен». В координатах Шварцшильда координаты «наблюдателя в$r = \infty$', нет значения временной координаты$t$это соответствует событию, когда частица пересекает горизонт.

Идея «в бесконечное время» здесь является артефактом использования координат Шварцшильда для описания черной дыры. Координаты Шварцшильда удобны для многих целей — в первую очередь потому, что они стационарны вне черной дыры, — но они описывают только правильное подмножество всего идеального пространства-времени черной дыры для решения уравнений ОТО.

В качестве простой аналогии представьте, что у нас была веская причина описывать точки на плоскости не обычными координатами, а логарифмами этих координат. Это описание могло бы заставить нас думать, что существует только первый квадрант пространства — точка, которая движется к$x$- или$y$-ось увидит, что одна из ее координат стремится к отрицательной бесконечности. Таким образом, по тем же рассуждениям, что и в вашем вопросе, мы могли бы сказать, что мы не можем пересечь эти оси, потому что сначала у нас «закончатся числа».

Мы можем перекоординировать Шварцшильда таким образом, чтобы число частиц, приближающихся к горизонту событий, не иссякало. Координаты Крускала – Секереса - одна из таких перекоординаций, где внешнее пространство Шварцшильда подходит как открытое подмножество.

В координатах Крускала-Секереша мы видим, что две частицы, падающие в черную дыру с одного и того же направления, но стартовавшие в одно и то же время, на самом деле пересекают горизонт событий в разных событиях, которые связаны светоподобной кривой ( т.е. нулевая геодезическая). В этой системе координат события пересечения имеют в качестве координат обычные конечные числа. Как правило, частицы будут двигаться по разным путям через внутреннее пространство-время и встречаться с сингулярностью в разных точках.

(Важно отметить, что речь, конечно же, идет об идеализированной математической установке — в реальной жизни настоящая черная дыра не существует бесконечно долго, и не факт, что вселенная тоже будет существовать.)

Оба достигают его за бесконечное время. По той же причине графики обоих$f(x) = \frac{1}{x + 1}$и$g(x) = \frac{1}{x + 2}$иметь предел 0 в бесконечности$x$несмотря на то, что начинаются в разных точках, когда$x = 0$.

ДОБАВИТЬ (2018-01-16): В другом ответе здесь упоминается, что «бесконечность» «не является числом» и «не должна рассматриваться как единица». Я бы сказал, что это зависит от вашей точки зрения. Называете ли вы «бесконечность» «числом» или нет, зависит от того, какие объекты вы решите допустить под ярлыком «число» (а также от того, какие объекты вы решите обозначить словом «бесконечность»), что, по общему признанию, является чем-то, что скорее не допускает точного формального определения (то есть не существует точного формального математического определения того, что такое «число», за исключением того, что некоторые виды математических объектов называются таковыми). Соответствующее понятие «бесконечности» здесь - это понятие «расширенная прямая действительных чисел». - Я заметил, что первоначальный вопросник упомянул что-то о бесконечностях в своем посте, сказав, что они подобны бесконечным множествам мощностей. Это неверно - релевантным понятием является «бесконечность», используемая в исчислении, которая формально является членом этого расширенного множества, и подходящая непрерывная функция может быть расширена до него, взяв предел.

Если кто-то возражает против этого формализма (хотя я не понимаю, зачем это делать — он вполне разумен, если играть по правилам, управляющим им, что требуется для всей математики), вместо того, чтобы сказать, что он « достигнут в бесконечное время» можно сказать, что оба «приближаются к горизонту сколь угодно близко в достаточно большие времена» или что «оба достигают горизонта в пределе сколь угодно больших времен». В любом случае требуется ограничение, потому что соответствующие функции не определены непосредственно в$t = \infty$(на ERL) - это почти тот же случай, что и для «устранимой сингулярности», такой как$f(x) = x^0$.

Теперь, что касается физического мира , мы не можем эмпирически проверить или подтвердить, продолжается ли время сколь угодно далеко, не говоря уже о том, что конечная точка$t = \infty$которые были бы добавлены в расширенную настройку реальных чисел для удобства, действительно существовали. Это скорее особенность наших моделей , и, по общему признанию, довольно идеализированных, которую можно не учитывать, не затрагивая предсказания, которое действительно можно проверить. (В самом деле, можно возразить, что любое заявление о предполагаемом «конце времени» вообще не поддается эмпирической проверке, потому что, как только оно произойдет, мы перестанем существовать и, таким образом, не сможем зарегистрировать его как истину.) На самом деле настоящая черная дыра — это почти наверняка ограничивается радиационным испарением Хокинга, которое сокращает срок его жизни за очень большое, но конечное время (около$10^{100}$с для самых больших черных дыр по сравнению с возрастом нынешней Вселенной около 435 пс ($435 \times 10^{15}$с) или 13,8 млрд лет). Правило для временного промежутка в этом случае состоит в том, что любой объект в свободном падении достигнет горизонта в тот момент, когда черная дыра исчезнет. Таким образом, оба объекта достигают горизонта одновременно, только теперь это конечное и математически бесспорное «число».