Я спросил в комментариях, будет ли приветствоваться ответ, включающий нотацию абстрактного индекса, и, по-видимому, так оно и было.

Коллекторы

Потому что ты говоришь о$\nabla$, давайте углубимся в тему коллекторов. У вас есть некоторое пространство точек$\mathcal M$и некоторое поле чисел$\mathbb F$(обычно реальные числа$\mathbb R$или комплексные числа$\mathbb C$); он становится «многообразием», когда мы начинаем наделять его набором «разрешенных» скалярных полей.$\mathcal S \subseteq (\mathcal M \to \mathbb F)$которые мы считаем «гладкими функциями». Чтобы сделать это более точным, можно представить существующие гладкие функции среди чисел, которые мы понимаем гораздо лучше, из$\mathbb F^n \to \mathbb F$. Это пространство$C^\infty(\mathbb F^n,~\mathbb F)$из этих функций можно использовать как отношение замыкания со следующей диаграммой категорий,

Обратите внимание, что это абстрактная диаграмма, и для нее подразумеваются кружки.$n=0,1,2,\dots$. Итак, слева у нас есть эти$n$-наборы скалярных полей$\mathcal S^n$; они обычно идут от$\mathcal M^n \to \mathbb F^n$но мы применяем все скалярные поля к одной и той же исходной точке, поэтому существует неявная функция$\mathcal M\to\mathcal M^n$там же. Справа у нас есть эти гладкие функции, «диаграмма категорий» говорит о том, что составление любого$n$-набор скалярных функций с любой из этих гладких функций соответствующего$n$, дает другое скалярное поле, еще одну из этих верхних стрелок. И дело в том, что каждая гладкая функция из$\mathbb F^n$к$\mathbb F$теперь имеет своего рода двойной статус, с одной стороны, это обычная плавная функция; с другой стороны, его можно «поднять» в функцию из$\mathcal S^n \to \mathcal S,$и мы говорим, что эти скалярные поля гладкие именно потому, что они замкнуты относительно всех этих поднятых функций. Для краткости позвольте мне назвать такую ​​функцию$n$-функтор и обозначать его квадратными скобками при применении к скалярным полям или круглыми скобками при применении к числам, так что

$$f[s_1,~s_2,~s_3](p) = f\big(s_1(p),~s_2(p),~s_3(p)\big).$$

Я хочу выделить несколько таких функций, в частности: добавление скалярных полей теперь определено, потому что$(+)$является 2-функтором, и поточечное умножение скалярных полей теперь определено, потому что$(\cdot)$является 2-функтором. У нас также есть скалярные умножения и скалярные сложения на любые константы в$\mathbb F$потому что это 1-функторы, а у нас есть постоянные поля, потому что это 0-функторы. Я не буду использовать квадратные скобки ни для одного из них. Наконец оказывается, что из набора полей, которые вы используете, можно получить естественную топологию (это одна из причин, по которой вы не хотите просто использовать$\mathcal S = (\mathcal M \to \mathbb F),$вы получаете дискретную топологию в пространстве) — для этого полезно, чтобы функция выпуклости была 1-функтором.

Что делает эту вещь$D$-мерное многообразие является аксиомой того, что для каждой точки$p\in\mathcal M$существует некоторое открытое множество, содержащее ту точку, где$D$из этих скалярных полей, «поля локальных координат», можно использовать для (а) различения точек в этом открытом наборе и (б) представления любого другого скалярного поля в виде$D$-функтор, примененный к этим полям координат. Есть и некоторые другие необходимые аксиомы, например, если скалярное поле кусочно определено на лоскутном одеяле всех этих пространств последовательно, то оно также должно быть в$\mathcal S$, но для краткости пропустим их.

Векторные поля

Теперь существует хорошее определение пространства векторных полей на$\mathcal M$но это немного абстрактно: это пространство производных по направлениям, называемых дифференцированиями , на многообразии. Формально:$\mathcal V$является подмножеством функций из$\mathcal S \to \mathcal S,$которые подчиняются закону Лейбница: если$V$находится в этом подмножестве, то его действие на любом$n$-функтор задается

$$V\big(f[s_1,\dots s_n]\big) = \sum_{i=1}^n f_{(i)}[s_1,\dots s_n]\cdot V(s_i),$$ где $f_{(i)}$является производной от $f$относительно его $i^\text{th}$аргумент. (Здесь работает много механизмов! Я говорю: вернитесь к тому, что $f$является функцией от чисел к числам, возьмем производную, результирующая функция будет $n$-функтор, примените его к этим скалярным полям как таковым, затем умножьте их поточечно на $V$применяются к отдельным скалярным полям, а затем суммируют все.)

Почему это «векторное поле»? Что ж, вернемся к нашей аксиоме координат: каждое скалярное поле есть$D$-функтор координатных полей на открытом множестве. Это означает, что на этом открытом множестве при заданном$D$"компоненты"$v_i = V(c_i)$(которые также являются скалярными полями), операция$V$на скалярном поле$s$однозначно определяется$V s = \sum_i v_i\cdot s_{(i)}.$Таким образом, эти компоненты полностью определяют вектор, и на самом деле я думаю, что вы можете использовать (согласно аксиоме лоскутного шитья) любой$D$-tuple скалярных полей для создания одного из них.

Пространство векторных полей$\mathcal V$как ни странно, не совсем векторное пространство над полем $\mathcal S$, и это потому, что$\mathcal S$нарушает аксиомы поля: вы можете иметь одну функцию, которая равна нулю в верхней половине сферы, и одну функцию, которая равна нулю в нижней половине сферы, и умножить их, чтобы получить$0$-элемент, равный нулю на всей сфере: а аксиомы поля запрещают делители нуля. (Я предполагаю более прямо: каждая из этих функций не имеет обратного мультипликативного, но это не нулевой элемент.) Вместо этого мы должны сказать, что$\mathcal V$является модулем над коммутативным кольцом $\mathcal S.$

Тензорная алгебра

Теперь, когда у нас есть векторные поля$\mathcal V$мы изобретаем ковекторное пространство$\bar {\mathcal V}$, которое представляет собой пространство линейных отображений векторов в скалярные поля,$\bar{\mathcal V} = \operatorname{Hom}(\mathcal V, \mathcal S).$Это пространство также является модулем над$\mathcal S,$со скалярным умножением, означающим «умножить выход скалярного поля этого ковектора поточечно на заданное скалярное поле», а сложение означает «сложить выходные данные скалярного поля этих двух ковекторов». На самом деле для всех пар натуральных чисел существует модуль полилинейных операторов из$m$ковекторы и$n$векторов к скалярным полям, пространство$[m, n]$-тензорные поля

$$\mathcal T[m, n] = \operatorname{Hom}(\mathcal V^n\times\bar{\mathcal V}^m, \mathcal S).$$ Для работы с ними существует множество нотаций, изобретенных по всему миру. Сейчас я покажу вам нотацию, известную как абстрактная индексная нотация.

Абстрактные индексы

Идея состоит в том, что мы создаем копии$[m, n]$тензорное пространство для любого множества$m+n$различные символы и обозначать их соответствующим образом,$\mathcal T^{abc}_{de}$будучи одной копией пространства$[3, 2]$-тензоры. Каждый элемент этого пространства также должен быть помечен соответствующими символами, а для отдельных элементов они также могут нуждаться в некотором определенном порядке (для тензорного пространства верхний и нижний символы не зависят от порядка).

Это открывает нам две вещи: семейство внешних продуктов , например, одну из этих карт внешних продуктов$\mathcal T^{ab}_e \times \mathcal T^c_d \mapsto \mathcal T^{abc}_{de}$. Думаю, смысл этого довольно прост: мультилинейная карта$A^{ab}_e ~ B^c_d$принимает в качестве аргумента два вектора$u^d, ~ v^e$и три ковектора$r_a, s_b, t_c$и создает два скалярных поля$A^{ab}_e~r_a~s_b~v^e$и$B^c_d~t_c~u^d$а затем умножает эти два вместе, чтобы получить окончательный результат. Мы используем прямое сопоставление субтензоров для обозначения этого внешнего произведения.

Следующее, что мы получаем, это сжатие , которое требует аксиомы:$[m, n]$-тензора существует некоторое его разложение по сумме больших внешних произведений$m$векторы и$n$ковекторы. Как только это существует, вы можете просто применить один из ковекторов к одному из векторов, что создаст скаляр, а скаляр, умноженный на тензор, будет просто тензором. Как вы понимаете, мы обозначаем это повторением индекса сверху и снизу. Так$A^{mn}_m$это сокращение, которое живет теперь в$\mathcal T^n$. Это происходит от некоторого тензора$A^{an}_b$посредством этой аксиомы: этот тензор был некоторой суммой внешних произведений:

$$A^{an}_b = \alpha^a~\beta^n~\gamma_b + \dots + \chi^a~\psi^n~\omega_b.$$ Результирующее сокращение является вектором $(\gamma_m~\alpha^m)\beta^n + \dots + (\omega_m~\chi^m)~\psi^n.$Эти термины в скобках являются приложениями ковектора к вектору для получения скаляра, поэтому мы просто суммируем скалярные множители векторов, чтобы создать новый вектор. Таким образом, это независимое от координат понятие трассы , которое можно использовать для сокращения любого $[m, n]$-тензор к $[m-1,n-1]$-тензорное поле, если ни одно из этих двух результирующих чисел не является отрицательным.

Примечание. Выше я принял как должное важный изоморфизм перемаркировки , который определяет, какие$\alpha^m$правильный вектор для представления$\alpha^a$совершенно в другом пространстве (живет в$\mathcal T^a$, живет в$\mathcal T^m$). Мы можем записать этот изоморфизм перемаркировки более явно как тензор$\delta^a_m$так как он описывает, как взять любой ковектор в$\mathcal T_a$который действовал бы непосредственно на$\alpha^a$, и вместо этого заставляет его работать с вектором в$\mathcal T^m.$Итак, это координатно-независимая версия «дельты Кронекера».

Точечные и перекрестные произведения,$\nabla$

Наконец, скалярные и кросс-произведения должны быть реализованы более непосредственно. Ну, это просто: они тензоры в пространстве!

Скалярное произведение — это полилинейное отображение двух векторов в скаляр, так что это$[0, 2]$-тензор$g_{ab},$называется метрическим тензором . Он симметричен по двум своим входам,$g_{ab} = g_{ba}.$Он имеет обратный$g^{ab}$такой, что$g^{ab}~g_{bc} = \delta^a_c,$и обратное ему, естественно, также симметрично. Точно так же, как изоморфизм перемаркировки является каноническим отождествлением различных векторных пространств, метрика является каноническим отождествлением векторов с ковекторами, каждый вектор$\vec v$соответствует ковектору$(\vec v\cdot)$канонически. Обычно мы указываем это, используя тот же символ для вектора, например$v_a = g_{ab}~v^b.$Мы можем сделать это и с тензорами; обычно мы пытаемся сохранить индексы в одном и том же горизонтальном положении, изменяя их вертикальное положение сверху вниз, так что, например,

$$M^{ij}_{~~~k} = g^{ia}~g^{jb}~M_{ijk}.$$

Тензор ориентации в$D$размеры полностью антисимметричны$[0, D]$-тензор, так что в 3-х измерениях это$\epsilon_{abc},$реализация перекрестного произведения между двумя векторами. Обычно принимают так,

$$\epsilon^{ij\dots n}~\epsilon_{ij\dots n} = g^{ai}~g^{bj}~\dots g^{fn}~\epsilon_{ij\dots n}~\epsilon_{ab\dots f} = \pm D!,$$ что обычно делает отдельные компоненты $\pm 1$в каком-либо подходящем базисе. Выбор $\pm$в $\pm D!$обычно связано с определителем $g$или что-то в этом роде, поэтому, когда вы попадаете в пространство Минковского, я думаю, что чаще используется -24, но в трехмерном пространстве используется +6, а в четырехмерном евклидовом вы, вероятно, вместо этого использовали бы +24.

По причинам, которые я не могу объяснить из-за длины ответа,$\nabla_i$требует более тщательного определения: геометрическая структура, которую он воплощает, называется «связностью» в пространстве, и оказывается, что мы однозначно определили его действие на скалярных полях,$v^i~\nabla_i~s$существование$V s$напрямую: но его определение на векторных полях подвержено неоднозначности вплоть до$[1, 2]$тензорное поле (когда вы переносите вектор вдоль другого вектора, какой получается вектор?). Однако можно выбрать одно конкретное, чтобы не было «кручения» и чтобы метрический тензор не имел производной, это называется «связностью Леви-Чивиты», и это обычно то, что мы используем. В любом случае, все, что я хотел здесь сказать, это то, что у него явно есть естественный ковекторный индекс из-за того, как мы используем его для скаляров.

Снова вводим явные координаты

Все вышеперечисленные индексы являются абстрактными , они просто обозначают принадлежность к множеству и допускают некоторую творческую бухгалтерию. Но в конце концов вы захотите ввести какие-то координаты или около того в пространстве и сделать некоторые реальные вычисления. Когда вы хотите сделать это, вы в основном строите в пространстве свои локальные базисные векторы$c_1^a, c_2^a, \dots c_D^a.$Это помогает выбрать два непересекающихся набора символов, например, греческие индексы — это абстрактные индексы, а римские — заменители чисел. Таким образом, эти координатные векторы равны$c_a^\alpha$.

Построим набор «дуальных векторов» к этим, действительно ковекторам,$c^a_\alpha$. Идея состоит в том, что они должны быть перпендикулярны всем тем, которые не являются их «целевым» вектором, и их необходимо масштабировать так, чтобы их произведение с их целевым вектором было равно 1:

$$c^m_{\alpha}~c_n^\alpha = \delta^m_n.$$ Это теперь ваш обычный Кронекер $\delta$символ справа, это не какой-то хитрый изоморфизм. Теперь любой вектор $v^\alpha$можно оперировать этими двойственными векторами, чтобы получить некоторые компоненты $v^a = c^a_\alpha~v^\alpha$которые полностью характеризуют его с точки зрения этих полей. Затем вы можете построить оригинал из этих компонентов, $v^\alpha = \sum_a v^a~c_a^\alpha.$

Понимая операции$\nabla_\alpha$на полях компонентов можно получить такие вещи, как символы Кристоффеля.

Теперь в трехмерном плоском евклидовом пространстве каждое скалярное поле является гладкой функцией$x, y, z$поля пространства, и каждое векторное поле имеет канонические скалярные компоненты поля$v_x, v_y, v_z$определяется во всем пространстве. Если вы запишете их как вектор-столбец, то ковекторы будут векторами-строками, а наша обычная евклидова метрика идентифицирует каждый вектор с его ковектором как транспонированный.

Как следствие$g_{mn} = c^\mu_m c^\nu_n g_{\mu\nu}$например, также является дельтой Кронекера, и поэтому обычно полностью забывают о различии между нижними и верхними индексами, векторным произведением$\vec u \cdot \vec v$математически равен$\sum_i u_i~v_i,$и мы можем даже стереть это$\sum_i$если мы используем соглашение о суммировании Эйнштейна. Итак, вы теперь знаете, что в «чистой земле», из которой происходят эти компоненты, каждый низший показатель должен быть уравновешен высшим; но в этом более простом мире это намного проще, их просто нужно соединить, чтобы подразумевать суммирование их компонентов, что влечет за собой геометрически значимый продукт. В этом смысле следует рассматривать$\epsilon_{ijk}~\partial_j~B_k$: с$j$и$k$повторяются, это неявно суммируется по этим компонентам; запасной индекс$i$указывает на то, что то, что осталось, является компонентами$[1, 0]$-тензор.

Таким образом, "геометрически правильным" вариантом будет$\epsilon^{\lambda\mu}_{~~~~\nu}~\nabla_\mu~B^\nu,$или так; но мы знаем, что находимся в плоском трехмерном пространстве, поэтому мы знаем, что нет никакого вреда в том, чтобы просто отбросить это притворство, если мы будем нервничать по поводу таких вещей, как «Я повторил этот индекс три раза, это приводит к суммированию Эйнштейна ? » (Ответ: Да, но что вы делаете?)