Обозначение дивергенции тензора ранга 2

Я думаю, что на этот вопрос ответили в комментариях, но ваша главная забота, похоже, заключается в том, «как бы вы обозначили это в векторной записи?».

---

Мой ответ на это таков: либо (1) вы этого не делаете , либо (2) если вы должны, то у вас есть свобода обозначать это так, как вам нравится. Причина того факта, что нет стандартного соглашения о «векторной» нотации, заключается в том, что с тензорами с рангом больше 1 это становится гораздо более запутанным, чем оно того стоит.

По этой причине я рекомендую вариант (1)

---

Пример : Предположим, вы хотите взять производную по второму индексу тензора. Тогда вы можете либо написать

$$\partial_{i_2} T^{i_1i_2 \cdots} \qquad or \qquad\vec{\mathcal{D}}\ \cdot \stackrel{\leftrightarrow}{T}$$

На мой взгляд, второе уравнение по существу бесполезно и, прежде всего, сбивает с толку. Проблема с тем, что справа, заключается в том, что вы пытаетесь упаковать слишком много информации в векторную запись. Это работает, если у вас есть один индекс, но теряет эту привлекательность пропорционально тому, сколько индексов имеет ваш тензор.

Если вы попытаетесь спасти «векторную» нотацию справа, вы, скорее всего, изобретете нотацию слева, поскольку она лучше во всех отношениях.

В этом ответе я использую$x=x_1, y=x_2, z=x_3$и обозначения Эйнштейна . Возьмем тензор A

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \\ a_{31} && a_{32} && a_{33} \\ \end{bmatrix}$$

В википедии в этой статье я нашел следующую информацию (в статье они используют S вместо A) для декартовой системы координат:

$$\nabla\cdot A = \cfrac{\partial A_{ki}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ki,k}~\mathbf{e}_i = \begin{bmatrix} \frac{\partial a_{11}}{\partial x} + \frac{\partial a_{21}}{\partial y} + \frac{\partial a_{31}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{12}}{\partial x} + \frac{\partial a_{22}}{\partial y} + \frac{\partial a_{32}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{13}}{\partial x} + \frac{\partial a_{23}}{\partial y} + \frac{\partial a_{33}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}$$

Результатом является контравариантный (столбцовый) вектор. Но в этой статье упоминается, что$\mathrm{div}(A) \neq \nabla\cdot A$и

$$\mathrm{div}(A) = \nabla\cdot A^T = \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i = \begin{bmatrix} \frac{\partial a_{11}}{\partial x} + \frac{\partial a_{12}}{\partial y} + \frac{\partial a_{13}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{21}}{\partial x} + \frac{\partial a_{22}}{\partial y} + \frac{\partial a_{23}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{31}}{\partial x} + \frac{\partial a_{32}}{\partial y} + \frac{\partial a_{33}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}$$

Когда А симметрично:$a_{ij}=a_{ji}$затем$\mathrm{div}(A) = \nabla\cdot A$

Wiki также упоминает, что некоторые авторы используют альтернативное определение:$\nabla\cdot A = \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i$вероятно, только для случая, когда A симметричен (для которого это альтернативное определение равно исходному). Однако альтернативное определение НЕ совместимо с общим криволинейным определением, которое я также нашел в вики:

$$\nabla\cdot A = \left(\cfrac{\partial A_{ki}}{\partial x_k}- A_{li}~\Gamma_{kk}^l - A_{kl}~\Gamma_{ki}^l\right)~\mathbf{g}^i$$

В настоящее время я не знаю точное определение: 𝐠𝑖 - возможно, это даст что-то вроде 𝐞𝑖