Обозначение нижнего индекса Фейнмана

Прежде всего, я всегда говорю каждому студенту, который спрашивает меня о таких выражениях, перестать запоминать все эти бесконечные правила и научиться делать это с помощью дельты Кронекера и символов Леви-Чивиты . Например, ваше исходное выражение выглядит так:

$$\mathbf{A}\times[\nabla\times\mathbf{B}]=\varepsilon_{ijk}A_j\varepsilon_{klm}\partial_lB_m = \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}A_j\partial_lB_m$$ Как видите, когда вы так написали, вам больше не нужно заботиться о некоммутативности векторного произведения. Итак, вы можете взять эти Levi-Civitas и сделать трансформацию: $$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \varepsilon_{kij}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$$ Сначала я просто сделал циклическую перестановку индексов, а второе равенство — это единственное равенство, которое вам нужно запомнить (что очень просто: одинаковые индексы идут с «+», а переставленные индексы идут с «-»). Вставляя это, получаем: $$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}A_j\partial_lB_m = \delta_{il}\delta_{jm}A_j\partial_lB_m - \delta_{im}\delta_{jl}A_j\partial_lB_m=A_j\partial_i B_j-A_j\partial_jB_i$$ Здесь я использовал свойство дельты Кронекера и фактически пришел к результату, как в вашем выражении. Давайте расширим суммы, чтобы прояснить, что на самом деле означают эти термины:
$$A_j\partial_i B_j-A_j\partial_jB_i =\left(\begin{array}{c}A_x\frac{\partial B_x}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial x}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial x}\\A_x\frac{\partial B_x}{\partial y}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial y}\\A_x\frac{\partial B_x}{\partial z}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial z}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}A_x\frac{\partial B_x}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_x}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_x}{\partial z}\\A_x\frac{\partial B_y}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_y}{\partial z}\\A_x\frac{\partial B_z}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_z}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\end{array}\right)$$

Обозначение$\vec \nabla_B$просто означает, что производная применяется только к вектору$\vec B$.

То есть :

$$(\vec \nabla_B)_i (\vec A\cdot \vec B) = \vec A\cdot\frac{\partial \vec B}{\partial x^i}\tag{1}$$