Обозначение индекса с операторами Del

Сначала некоторые обозначения

$$\nabla \times \vec B \rightarrow \epsilon_{ijk}\nabla_j B_k$$ $$\nabla \cdot \vec B \rightarrow \nabla_i B_i$$ $$\nabla B \rightarrow \nabla_i B$$

Теперь к вашей проблеме,

$$\nabla \cdot(\nabla \times \vec V)$$

запись в индексной нотации

$$\nabla_i (\epsilon_{ijk}\nabla_j V_k)$$

Теперь просто вычислите его (помните, что Леви-Чивита — константа).

$$\epsilon_{ijk} \nabla_i \nabla_j V_k$$

Здесь у нас есть интересная вещь, Леви-Чивита полностью антисимметричен по i и j и имеет еще один член$\nabla_i \nabla_j$что полностью симметрично: оказывается равным нулю.

$$\epsilon_{ijk} \nabla_i \nabla_j V_k = 0$$

Давайте сделаем последний шаг более понятным. Мы всегда можем сказать, что$a = \frac{a+a}{2}$, так что у нас есть

$$\epsilon_{ijk} \nabla_i \nabla_j V_k = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk} \nabla_i \nabla_j V_k + \epsilon_{ijk} \nabla_i \nabla_j V_k \right]$$

Теперь давайте поменяем местами во втором Levi-Civita указатель$\epsilon_{ijk} = - \epsilon_{jik}$, так что

$$\epsilon_{ijk} \nabla_i \nabla_j V_k = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk} \nabla_i \nabla_j V_k - \epsilon_{jik} \nabla_i \nabla_j V_k \right]$$

Теперь мы можем просто переименовать индекс$\epsilon_{jik} \nabla_i \nabla_j V_k = \epsilon_{ijk} \nabla_j \nabla_i V_k$( здесь не производился обмен, просто переименовывался ).

$$\epsilon_{ijk} \nabla_i \nabla_j V_k = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk} \nabla_i \nabla_j V_k - \epsilon_{ijk} \nabla_j \nabla_i V_k \right]$$

Мы можем поставить Леви-Чивиту в качестве доказательства,

$$\epsilon_{ijk} \nabla_i \nabla_j V_k = \frac{\epsilon_{ijk}}{2} \left[ \nabla_i \nabla_j V_k - \nabla_j \nabla_i V_k \right]$$

И, поскольку V_k — хорошее поле, не должно возникнуть проблем с заменой производных$\nabla_j \nabla_i V_k = \nabla_i \nabla_j V_k$

$$\epsilon_{ijk} \nabla_i \nabla_j V_k = \frac{\epsilon_{ijk}}{2} \left[ \nabla_i \nabla_j V_k - \nabla_i \nabla_j V_k \right]$$

И, как видите, то, что в скобках, просто ноль.