Две противоречивые формы уравнения состояния нерелятивистского газа

Я столкнулся с двумя противоречивыми выводами уравнения состояния нерелятивистского газа. Однако выводы релятивистского уравнения состояния обоих источников согласуются. Я думаю, может быть, расхождение связано с разными определениями энергии (термодинамика против...?). Я резюмировал аргументы ниже.

$\textbf{Source 1}$: Заметки о звездной структуре и эволюции О. Р. Полса, стр. 24 http://www.astro.ru.nl/~onnop/education/stev_utrecht_notes/chapter1-4.pdf

Начнем с интеграла давления,

$$P = \frac{1}{3} \int_0^{\infty} \mathop{dp} n(p) p v_p = \frac{1}{3}n\langle pv_p\rangle,$$ где $n(p)$- функция распределения по импульсу, $p$это импульс, и $v_p$скорость частицы с импульсом $p$. Также напомним, что «внутренняя плотность энергии» $u$является $$u = \int_0^{\infty}\mathop{dp} n(p) E_p = n \langle E_p \rangle,$$ где $E_p$это кинетическая энергия.

Для нерелятивистского случая$v_p = \frac{p}{m}$, так

$$P = \frac{1}{3} n \langle pv_p \rangle = \frac{1}{3} n \langle \frac{p^2}{m} \rangle$$ $$= \frac{1}{3} n \langle 2E_p \rangle = \frac{2}{3} u,$$ так что вывод такой $$P = \frac{2}{3} u.$$

$\textbf{Source 2}$: Райден$\textit{Introduction to Cosmology}$, стр. 55.

Уравнения состояния здесь обозначаются

$$P = w\varepsilon,$$ где $\textbf{I am assuming that Ryden's $\varepsilon$ is the same as Pols' $u$}$. Нерелятивистский газ подчиняется закону идеального газа, $$P = \frac{\rho}{\mu}kT,$$ где $\rho$это плотность и $\mu$- средняя масса частиц. Для нерелятивистских частиц $$\varepsilon \approx \rho ,$$ так $$P \approx \frac{kT}{\mu}\varepsilon$$

Для нерелятивистского газа

$$3kT = \mu \langle v^2 \rangle$$ и поэтому $$P = \frac{\langle v^2 \rangle}{3} \epsilon,$$ но где она утверждает $$\frac{\langle v^2 \rangle}{3} \ll 1,$$ что явно противоречит утверждению Полса о том, что этот фактор пропорциональности $\frac{2}{3}$. На самом деле, Райден считает, что пропорциональность $0$, так что $P=0$для нерелятивистского газа.

Мне интересно, как примирить эти два аргумента. Полы$u$и Райдена$\varepsilon$тот же "тип" энергии?