Почему температура становится ниже, когда Вселенная расширяется

Вообще говоря, невозможно утверждать, сохраняется ли энергия в общей теории относительности (ОТО). Есть несколько тонких моментов по поводу определения энергии гравитационного поля и того, как это могло бы ввести понятие полной энергии (включая гравитационную энергию), однако здесь я буду обсуждать только энергию содержания материи.

В некоторых случаях можно доказать, что полная энергия содержания вещества действительно сохраняется. Тензор полной энергии-импульса (ТЭИ)$T_{\mu\nu}$должен удовлетворить

$$\nabla_\mu{}T^\mu{}_\nu = 0.$$ Эти условия исходят из тождеств Бьянки вместе с уравнениями Эйнштейна. Учитывая некоторое времяподобное векторное поле $v^\mu$можно определить поток энергии-импульса через слоение, определяемое формулой $v^\mu$как $P^\mu = T^{\mu\nu}v_\nu$(не все времениподобные векторные поля определяют глобальное слоение, однако я буду игнорировать этот момент здесь).

Векторное поле$P^\mu$имеет свою дивергенцию, заданную выражением

$$\nabla_\mu{}P^\mu = \nabla_\mu{}T^{\mu\nu}v_\nu + T^{\mu\nu}\nabla_\mu{}v_\nu = T^{\mu\nu}\nabla_\mu{}v_\nu = T^{\mu\nu}\nabla_{(\mu}{}v_{\nu)},$$ где скобки представляют собой симметричную часть, а последнее равенство исходит из симметричного свойства ЕМТ. Если по какой-то причине $\nabla_\mu{}P^\mu = 0$, то теорема Стокса (плюс некоторые условия на многообразие или на ТЭИ на бесконечности) гарантирует сохранение полной энергии, т. е. $$\left.\int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}P^\nu{}v_\nu\right\vert_{t_1} = \left.\int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}P^\nu{}v_\nu\right\vert_{t_2},$$ где $\gamma$- определитель метрики, спроецированный на пространственную гиперповерхность, определяемую формулой $v^\nu$и $t_1, t_2$две метки, определяющие две разные гиперповерхности.

Если$v_\mu$векторное поле Киллинга, которому оно удовлетворяет

$$\mathcal{L}_v g_{\mu\nu} = n^\alpha\nabla_\alpha{}g_{\mu\nu} + 2\nabla_{(\mu}v_{\nu)} = 2\nabla_{(\mu}v_{\nu)} = 0,$$ где мы использовали ковариантную производную, совместимую с $g_{\mu\nu}$. Это показывает, что если существует времяподобное поле Киллинга , то полная энергия сохраняется, однако обратное неверно, т. е. неверно следующее утверждение : если сохраняется полный энергетический импульс, то существует времяподобное поле Киллинга.

В нашей современной космологической модели Вселенная (нулевого порядка) описывается метрикой Фридмана-Ламэтра-Робертсона-Уокера (FLRW), которая не обладает времениподобным вектором Киллинга. Вот почему энергия радиационноподобной жидкости не сохраняется, из прямого расчета расходимости ЭМП в модели FLRW мы имеем

$$\dot{\rho} + 3H(\rho+p) = 0,$$ где $H=\dot{a}/a$функция Хаббла, $a$масштабный фактор, $\dot{f} = v^\mu\partial_\mu{}f$производная по времени от скалярной функции $f$, ЕМТ определяется выражением $T_{\mu\nu} = \rho{}v_\mu{}v_\nu + p\gamma_{\mu\nu}$, $v_\mu$поле представляет поток жидкости, $\gamma_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + v_{\mu}v_{\nu}$пространственный проектор, $\rho$плотность энергии в этой системе отсчета и $p$изотропное давление также в этой системе отсчета. Для постоянного уравнения состояния ( $w = p/\rho$) у нас есть $$\rho = \rho_0\left(\frac{a_0}{a}\right)^{3(1+w)},$$ где $a_0$и $\rho_0$- масштабный коэффициент и плотность энергии, рассчитанные в пространственном сечении, определяемом формулой $t_0$.

Из прямого вычисления полной энергии (в этой системе отсчета) имеем

$$\int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}P^\nu{}v_\nu = \int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}\rho = \int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma_0}\rho_0\left(\frac{a_0}{a}\right)^{3w},$$ где мы это использовали $\dot{\sqrt{\gamma}} = 3H\sqrt{\gamma}$и поэтому, $\sqrt{\gamma} = \sqrt{\gamma_0}(a_0/a)^3$(это верно для FLRW, вообще $3H$заменяется коэффициентом расширения $\Theta \equiv \nabla_\mu{}v^\mu$). Это показывает, что для излучения ( $w=1/3$) энергия уменьшается с $\propto a^{-1}$когда вселенная расширяется. Отметим также, что присутствие темной энергии $w<-1/3$увеличивают общую энергию, например, космологическая постоянная имеет $w=-1$тогда энергия идет как $a^3$.

Для особого случая пыли$w=0$полная энергия сохраняется . Это пример того, что я сказал ранее, мы можем иметь полное сохранение энергии без поля Киллинга, в данном случае это происходит потому, что$T_{\mu\nu} = \rho{}v_\mu{}v_\nu$ортогонален$\nabla_\mu{}v_\nu = \mathcal{K}_{\mu\nu} = H\gamma_{\mu\nu}$, где$\mathcal{K}_{\mu\nu}$внешняя кривизна, которая в FLRW пропорциональна$\gamma_{\mu\nu}$.

Наконец, мы можем иметь термодинамическое равновесие только тогда, когда у нас есть времяподобное поле Киллинга, за исключением того, что для излучения нам просто нужно конформное поле Киллинга для достижения равновесия (см. «Кинетическая теория в расширяющейся Вселенной», Бернштейн, 1988). Во вселенной FLRW у нас есть времяподобное конформное поле Киллинга, и поэтому у нас есть четко определенная температура для излучения, используя распределение Бозе-Эйнштейна (при условии кинетического равновесия), мы получаем, что$T \propto a^{-1}$, поэтому с термодинамической точки зрения полная энергия не сохраняется, температура падает при расширении Вселенной.

Вот ответ, который Людвиг Больцман дал в 1884 году:

Из соображений экстенсивности плотность энергии электромагнитного излучения можно записать как$U(T,V)=u(T)V$. Кроме того, из классической электродинамики мы знаем, что давление составляет одну треть плотности энергии.$p(T)=u(T)/3$, что, например, следует путем отслеживания тензора напряжений Максвелла. Если предположить, что химический потенциал равен нулю,$\mu=0$(трудно догадаться: Больцман даже не знал фотонов...), тогда (по уравнению Эйлера) энергия дается$U=TS-PV$, и поэтому

$$S=\frac{U+PV}{T}=\frac{4}{3}V\frac{u(T)}{T} \ .$$ Далее из дифференциала ${\rm d}F=-S\,{\rm d}T-P\,{\rm d}V$следует соотношению Максвелла $$\Big(\frac{\partial P}{\partial T}\Big)_V=\Big(\frac{\partial S}{\partial V}\Big)_T \ ,$$ и вставляем то, что мы знаем о $P(T)$и $S(T,V)$приводит к $$\frac{1}{3}u'(T) = \Big(\frac{\partial P}{\partial T}\Big)_V=\Big(\frac{\partial S}{\partial V}\Big)_T = \frac{4}{3}\,\frac{u(T)}{T} \ .$$ Это дифференциальное уравнение для $u(T)$легко решается и приводит к $u(T)=aT^4$, с некоторой константой $a$— и таким образом Больцман вывел закон, ранее экспериментально открытый Стефаном.

Но теперь мы знаем и энтропию:$S(T,V)=\frac{4}{3}aVT^3$.

Изюминка: во время адиабатического расширения Вселенной энтропия остается постоянной. Следовательно, продукт$VT^3$должна оставаться постоянной, и, таким образом, температура космического фонового излучения уменьшается обратно пропорционально масштабному коэффициенту Вселенной.