Единственность функции вероятности для уравнения Шредингера

Question

Единственность функции вероятности для уравнения Шредингера

Физика
Волновая
Вероятность
Квантовая-механика
Уравнение-шредингера
Гильбертово-пространство

Маурицио Барбато

Дэвид Бом в разделе (4.5) своей замечательной монографии « Квантовая теория» после определения обычной функции вероятности плотности $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $P (x, t) = ψ^{*} ψ$ $п (Икс, T) знак равно ψ^{*} ψ$ для уравнения Шредингера для свободной частицы в одном измерении:

я ℏ \frac{\partial ψ}{\partial T} знак равно - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial {Икс}^{2}},

говорится, что

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

P (x, t)

п (Икс, T)

это уникальная функция

ψ (x, t)

ψ (x, t)

ψ (Икс, T)

и частные производные

ψ

ψ

ψ

в отношении

x

x

Икс

все вычислено в

(x, t)

(x, t)

(Икс, T)

который удовлетворяет следующим свойствам:

P никогда не бывает отрицательным;
вероятность велика, когда $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ большой и маленький, когда $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ маленький;
значение $P$ $P$ $п$ не зависит критически от любой величины, которая, как известно на общих физических основаниях, не имеет значения: в частности, это подразумевает (поскольку мы имеем дело с нерелятивистской теорией), что $P$ $P$ $п$ не должно зависеть от того, где выбран ноль энергии;
$\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int п (Икс, T) d Икс$ сохраняется со временем, так что в конечном итоге нормализации $P$ $P$ $п$ мы можем выбрать $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int P (x, t) d x = 1$ $\int п (Икс, T) d Икс знак равно 1$ для всех $t$ $t$ $T$ ,

Бом не дает никаких математических аргументов вообще, и на самом деле это утверждение кажется мне совершенно неоправданным.

Кто-то знает причину, почему это должно быть правдой?

ПРИМЕЧАНИЕ (1). Поскольку уравнение Шредингера является уравнением первого порядка, эволюция времени $ψ$ $ψ$ $ψ$ фиксируется с учетом начального состояния $ψ (x, 0)$ $ψ (x, 0)$ $ψ (Икс, 0)$ : это причина, почему мы требуем, чтобы вероятность $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $п (Икс, T)$ зависит от состояния во время $t$ $t$ $T$ , это $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (Икс, T)$ и его пространственные производные. Чтобы быть явным, требование, чтобы $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $п (Икс, T)$ является функцией только $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (Икс, T)$ и частные производные $ψ$ $ψ$ $ψ$ в отношении $x$ $x$ $Икс$ все вычислено в $(x, t)$ $(x, t)$ $(Икс, T)$ означает, что существует функция $p$ $p$ $п$ такой, что $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $P (x, t) = p (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $п (Икс, T) знак равно п (ψ (Икс, T), \frac{\partial ψ}{\partial Икс} (Икс, T),,,,, \frac{\partial^{м} ψ}{\partial {Икс}^{м}} (Икс, T))$ ,

ЗАМЕТКА 2). Тот, что приведен выше, не является математически строгой формулировкой проблемы, но тот, который первоначально дал Бом. Таким образом, мы можем свободно прилагать строгий математический смысл к различным свойствам. В частности, что касается свойства (iv), мы можем сформулировать его в другой (не эквивалентной) математической форме, требуя соблюдения локального закона сохранения в том смысле, что существует функция $j$ $j$ $J$ так, что если мы положим $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (x, t) = j (ψ (x, t), \frac{\partial ψ}{\partial x} (x, t), . . ., \frac{\partial^{m} ψ}{\partial x^{m}} (x, t))$ $J (Икс, T) знак равно J (ψ (Икс, T), \frac{\partial ψ}{\partial Икс} (Икс, T),,,,, \frac{\partial^{м} ψ}{\partial {Икс}^{м}} (Икс, T))$ , мы получили

\frac{\partial п}{\partial T} + \nabla \cdot J знак равно 0.

ЗАМЕТКА 3). Подобные вопросы поднимаются в постах « Отсутствие вероятности для уравнений реальной волны» и « Отсутствие вероятности для уравнения Клейна-Гордона» . Предположительно, Бом имел в виду один и тот же математический аргумент для решения этих трех проблем, поэтому реальный вопрос заключается в следующем: какой математический инструмент он намеревался использовать? Может быть, какое-то понятие из классической теории поля или теории уравнений с частными производными?

Авангард

Причина какого заявления?

Маурицио Барбато

Заявление Бома заключается в том, что

P

P

п

это уникальная вероятность, которую вы можете определить с помощью

ψ

ψ

ψ

и его частные производные, которые удовлетворяют свойствам, перечисленным в посте. Очевидно, что эти требуемые свойства не определены очень строгим математическим способом, но именно так Бом решает проблему.

Омар Нагиб

Вы можете найти обоснование для такого рода утверждений во вводном учебнике по КМ (например, Гриффитс).

drvrm

Если P (x) является вероятностью нахождения частицы в точке x, то интеграл говорит, что полная вероятность должна быть равна 1, поскольку частица должна быть найдена между значением от -infinity до + бесконечности x.

knzhou

Я задал связанный вопрос здесь . Не имеет именно то, что вы хотите, но он может иметь несколько полезных указателей.

Ответы (4)

Единственность функции вероятности для уравнения Шредингера

Заявление Бома заключается в том, что $P$ $P$ $п$ это уникальная вероятность, которую вы можете определить с помощью $ψ$ $ψ$ $ψ$ и его частные производные, которые удовлетворяют свойствам, перечисленным в посте. Очевидно, что эти требуемые свойства не определены очень строгим математическим способом, но именно так Бом решает проблему.
Вы можете найти обоснование для такого рода утверждений во вводном учебнике по КМ (например, Гриффитс).
Если P (x) является вероятностью нахождения частицы в точке x, то интеграл говорит, что полная вероятность должна быть равна 1, поскольку частица должна быть найдена между значением от -infinity до + бесконечности x.
Я задал связанный вопрос здесь . Не имеет именно то, что вы хотите, но он может иметь несколько полезных указателей.

EuYu · Answer 1

Предположения Бома не являются математически точными, поэтому вы должны приложить к ним математическую интерпретацию (особенно утверждения $2$ $2$ $2$ и $3$ $3$ $3$ ). Поскольку вы сами этого не сделали, я постараюсь истолковать их так, как мне кажется.

Определение для $P$ $P$ $п$ : Потребуем, чтобы плотность вероятности $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $п_{ψ} (Икс, T)$ любой гладкой функции $ψ$ $ψ$ $ψ$ быть локальной функцией своих частных производных в $(x, t)$ $(x, t)$ $(Икс, T)$ ,

Более формально, пусть $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (Икс, T)$ быть гладкой функцией и пусть $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $j_{x, t}^{\infty} ψ$ $J_{Икс, T}^{\infty} ψ$ обозначим бесконечное расширение струи $ψ$ $ψ$ $ψ$ в $(x, t)$ $(x, t)$ $(Икс, T)$ его формальное разложение в ряд Тейлора о $(x, t)$ $(x, t)$ $(Икс, T)$ , Тогда мы можем написать

п_{ψ} (Икс, T) знак равно п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ),

для какой-то функции

p

p

п

определяется на струйном пучке. С точки зрения регулярности, мы будем требовать

p

p

п

быть непрерывным.

По сути, это определение, которое вы предложили для $P$ $P$ $п$ , На самом деле, это уже проблематично, поскольку нам обязательно придется работать с волновыми функциями, которые не являются гладкими. Поэтому уже сейчас проблематично требовать, чтобы $P$ $P$ $п$ зависят от высших производных, поскольку они даже не гарантированы. Тем не менее, мы допустим произвольную зависимость от более высоких частичностей и применим условия согласованности для $P$ $P$ $п$ оценивается по гладким функциям. Затем мы можем восстановить $P$ $P$ $п$ уникально для произвольного $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ функции непрерывности.

Предположение 1: функция $p$ $p$ $п$ является реальным и неотрицательным.

Предположение 2: плотность вероятности $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $п_{ψ} (Икс, T)$ является неубывающей функцией $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $| ψ (Икс, T) |$ т.е.

п_{ψ_{1}} (Икс, T) \geq п_{ψ_{2}} (Икс, T) ⟺ | ψ_{1} (Икс, T) | \geq | ψ_{2} (Икс, T) |,

Предположение 3: функция $p$ $p$ $п$ инвариантен относительно глобальной фазы, т.е.

п (е^{я θ} J_{Икс, T}^{\infty} ψ) знак равно п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ),

Предположение 4: Если $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (Икс, T)$ является нормализованной функцией, то $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $P_{ψ} (x, t)$ $п_{ψ} (Икс, T)$ аналогично нормализованная функция.

Давайте рассмотрим предположения одно за другим. предположение $1$ $1$ $1$ является относительно простым, поскольку плотности вероятности должны быть действительными и неотрицательными.

Свойство $2$ $2$ $2$ это, на мой взгляд, самый трудный для правильной интерпретации. То, как я интерпретировал собственность в Успенском $2$ $2$ $2$ это означает, что величина плотности вероятности в точке напрямую отражает величину волновой функции в этой точке. Это то, что я считаю самой прямой транскрипцией второго свойства Бома.

Это предположение на самом деле чрезвычайно сильно, и оно обязательно подразумевает, что $p$ $p$ $п$ не зависит от всех производных $ψ$ $ψ$ $ψ$ , Это в основном потому, что значение гладкой функции и всех ее производных может быть независимо задано в любой точке. На это уже указывал @Kostas.

Лемма. Предположим, что $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $p (j_{x, t}^{\infty} ψ)$ $п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ)$ является непрерывной неубывающей функцией $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $| ψ (x, t) |$ $| ψ (Икс, T) |$ , затем $p$ $p$ $п$ не зависит от всех производных $ψ$ $ψ$ $ψ$ т.е.

п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ) знак равно п (J_{Икс, T}^{0} ψ) знак равно п (ψ (Икс, T)),

Доказательство: по теореме Бореля , для любой сложной последовательности $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(a_{n, m})_{n, m = 0}^{\infty},$ $(_{N, м})_{N, м знак равно 0}^{\infty},$ и любая точка $(x, t)$ $(x, t)$ $(Икс, T)$ существует гладкая функция $ψ$ $ψ$ $ψ$ такой, что

\frac{\partial^{N + м}}{\partial {Икс}^{N} \partial T^{м}} ψ (Икс, T) знак равно_{N, м},

Поэтому мы можем варьировать отдельные записи ряда Тейлора совершенно независимо.

Предположим, что $p$ $p$ $п$ не является постоянным на некотором частичном $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{i} ψ$ $\partial_{я} ψ$ , Тогда по теореме Бореля мы можем найти гладкие функции $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ и $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ так что все коэффициенты Тейлора $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ $ψ_{1}$ и $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ $ψ_{2}$ согласен в $(x, t)$ $(x, t)$ $(Икс, T)$ кроме $\partial_{i}$ $\partial_{i}$ $\partial_{i}$ $\partial_{i}$ $\partial_{я}$ , затем

п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ_{1}) \neq п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ_{2}),

и без ограничения общности мы можем предположить, что

п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ_{1}) > п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ_{2}),

Далее мы можем найти другую гладкую функцию

ψ_{3}

ψ_{3}

ψ_{3}

ψ_{3}

ψ_{3}

который согласен с

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

для всех коэффициентов Тейлора в

(x, t)

(x, t)

(Икс, T)

за исключением постоянного срока,

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (x, t) \neq ψ_{2} (x, t)

ψ_{3} (Икс, T) \neq ψ_{2} (Икс, T)

, По преемственности мы можем выбрать

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (x, t)

ψ_{3} (Икс, T)

немного больше чем

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (x, t)

ψ_{2} (Икс, T)

но все же такой, что

п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ_{1}) > п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ_{3}),

Поэтому мы имеем

| ψ_{1} (Икс, T) | знак равно | ψ_{2} (Икс, T) | < | ψ_{3} (Икс, T) |, и п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ_{1}) > п (J_{Икс, T}^{\infty} ψ_{3}),

в противоречие с предположением о монотонности.

◻

◻

◻

Поэтому мы будем предполагать, что $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $P_{ψ} (x, t) = p (ψ (x, t))$ $п_{ψ} (Икс, T) знак равно п (ψ (Икс, T))$ впредь. Обратите внимание, что на данный момент нам больше не нужно предположение, что $ψ$ $ψ$ $ψ$ гладкий

предположение $3$ $3$ $3$ это также просто прямая транскрипция свойства 3. Если мы меняем энергию, мы эффективно меняем волновую функцию с помощью глобального фазового фактора. $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $e^{i E t}$ $е^{я Е T}$ , Поскольку мы всегда можем сделать волновую функцию реальной и положительной в любой точке $(x, t)$ $(x, t)$ $(Икс, T)$ Из соответствующего выбора глобального фазового фактора следует, что $p$ $p$ $п$ не зависит от фазы $ψ (x, t)$ $ψ (x, t)$ $ψ (Икс, T)$ т.е.

п (ψ (Икс, T)) знак равно п (| ψ (Икс, T) |),

Обратите внимание, что это предположение на самом деле совершенно не нужно. Мы могли бы вывести вышеприведенное уравнение, слегка модифицировав нашу лемму, используя предположение $2$ $2$ $2$ , Я сохраню это только ради полноты.

Наконец, мы приходим к предположению $4$ $4$ $4$ , Заявление Бома о его собственности $4$ $4$ $4$ является то, что вероятности должны быть нормализованы всегда, а именно для всех $t$ $t$ $T$ мы должны иметь

1 знак равно \int_{р} п (Икс, T) d Икс,

Это имеет определенные двусмысленности, однако. Какую эволюцию времени мы должны использовать? Наивно, любой самосопряженный оператор $H$ $H$ $ЧАС$ со спектром, который ограничен снизу (так что существует самый низкий энергетический уровень), должен быть в состоянии служить действительным гамильтонианом. Если мы требуем, чтобы назначение $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto P_{ψ}$ $ψ \mapsto п_{ψ}$ быть универсально действительным, т. е. независимым от гамильтониана, то мы должны требовать, чтобы $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $P (x, t)$ $п (Икс, T)$ быть нормализованным относительно унитарной эволюции, порожденной любым гамильтонианом.

Можно показать, что с учетом любого унитарного $U$ $U$ $U$ , существует некоторый допустимый (самосопряженный, ограниченный снизу) гамильтониан $H$ $H$ $ЧАС$ такой, что $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U = e^{i H}$ $U знак равно е^{я ЧАС}$ , На самом деле нам даже не нужно рассматривать множество всех допустимых гамильтонианов, а скорее просто множество всех ограниченных гамильтонианов в силу следующей теоремы.

Теорема: пусть $H$ $H$ $ЧАС$ быть гильбертовым пространством и пусть $U$ $U$ $U$ быть любым унитарным оператором на $H$ $H$ $ЧАС$ , Тогда существует ограниченный самосопряженный оператор $A$ (с нормой не более $π$ $π$ $π$ ) такой что

U знак равно е^{я},

Доказательство. Это простое следствие функционального исчисления Бореля для ограниченных операторов, примененного к главной ветви логарифма. Смотрите здесь для полного доказательства. $◻$ $◻$ $◻$

Теперь пусть $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (x)$ $ψ_{1} (Икс)$ быть некоторой нормализованной волновой функцией. Предположим без ограничения общности, что $P$ $P$ $п$ нормализуется так, чтобы

1 знак равно \int_{р} п_{ψ_{1}} (Икс) d Икс,

Позволять

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (x)

ψ_{2} (Икс)

быть некоторой другой произвольной нормированной волновой функцией. Позволять

U

U

U

быть любым унитарным таким, что

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} = U ψ_{1}

ψ_{2} знак равно U ψ_{1}

, Тогда существует некоторый ограниченный гамильтониан, такой, что эволюция времени приводит к начальному состоянию

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (x, t = 0) = ψ_{1} (x)

ψ (Икс, T знак равно 0) знак равно ψ_{1} (Икс)

в

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (x, t = 1) = ψ_{2} (x)

ψ (Икс, T знак равно 1) знак равно ψ_{2} (Икс)

, Это означает, что мы должны иметь

1 знак равно \int_{р} п_{ψ_{1}} (Икс) d Икс знак равно \int_{р} п_{ψ_{2}} (Икс) d Икс,

поскольку

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

ψ_{2}

была произвольной нормализованной функцией, отсюда следует, что

P_{ψ}

P_{ψ}

P_{ψ}

P_{ψ}

п_{ψ}

нормализуется для всех нормализуется

ψ

ψ

ψ

, Мы принимаем это как наше предположение

4

4

4

,

Физически это предположение, по сути, говорит о том, что мы должны иметь возможность изменять потенциал гамильтониана так, чтобы любая нормализованная волновая функция была произвольно близка к любой другой нормализованной волновой функции. поскольку $P$ $P$ $п$ сохраняется в этой эволюции, она должна быть нормализована с учетом любой нормализованной волновой функции.

Обратите внимание, что это означает, что мы должны иметь $p (0) = 0$ $p (0) = 0$ $п (0) знак равно 0$ , В противном случае $p (0) > 0$ $p (0) > 0$ $п (0) > 0$ даст дивергентный интеграл для любой нормализованной функции с компактным носителем $ψ$ $ψ$ $ψ$ ,

Теперь давай $y > 0$ $y > 0$ $y > 0$ $y > 0$ $Y > 0$ , определять $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{y} (x, t)$ $ψ_{Y} (Икс, T)$ быть равным $1 / \sqrt{y}$ $1 / \sqrt{y}$ $1 / \sqrt{y}$ $1 / \sqrt{y}$ $1 / \sqrt{Y}$ для $x \in (0, y)$ $x \in (0, y)$ $x \in (0, y)$ $x \in (0, y)$ $Икс \in (0, Y)$ и ноль в другом месте. Тогда у нас есть

\int_{р} | ψ_{Y} (Икс, T) |^{2} d Икс знак равно 1 знак равно \int_{р} п (| ψ_{Y} (Икс, T) |) d Икс знак равно \int_{0}^{Y} п (1 / \sqrt{Y}) d Икс знак равно Y п (1 / \sqrt{Y}),

Поэтому мы должны иметь

п (| ψ (Икс, T) |) знак равно | ψ (Икс, T) |^{2},

Это желаемое требование. Конечно, вы можете не согласиться с тем, как я интерпретировал некоторые высказывания Бома. Но, как вы сами сказали в этом вопросе, этим физическим свойствам должны быть присвоены строгие определения. Это просто то, что я чувствовал, чтобы быть самым верным.

Я тщательно обдумал ваше предположение 4, и, хотя оно не является полностью неоправданным, наверняка это не адекватная интерпретация свойства 4, требуемая Бомом, которая лишь говорит о том, что $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int P (x, t) d x$ $\int п (Икс, T) d Икс$ должен быть постоянным во времени. Ваше предположение 4 делает проблему тривиальной, в то время как утверждение Бома вовсе не тривиально.
@MaurizioBarbato Вы говорите, что для свойства 4 требуется только $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int п d Икс$ быть постоянным Но постоянный по отношению к чему? Какое бы вероятностное назначение мы ни делали, оно не должно зависеть от самого гамильтониана. Конечно, $P$ $P$ $п$ универсален, $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int P d x$ $\int п d Икс$ должен быть постоянным относительно всех возможных гамильтоновых эволюций. Унитарные порождаемые множеством всех допустимых (т. Е. Самосопряженных, ограниченных снизу) гамильтонианов будут плотными в полной унитарной группе гильбертова пространства.
Теперь я понимаю вашу точку зрения, и это кажется мне очень блестящей идеей! Извините, что не понял это в первый раз. Если я не переусердствую, я бы хотел сослаться на ваше утверждение: «унитарные числа, порожденные множеством всех допустимых гамильтонианов, плотны в полной унитарной группе гильбертова пространства». Я думаю, что это как-то связано с теоремой Стоуна, но я не знаю, что именно вы имеете в виду, поскольку никогда не встречал понятия «ограниченный снизу» оператор. Спасибо очень очень ... очень заранее.
@MaurizioBarbato Я обновил ответ, чтобы он содержал наше обсуждение, а также ссылку на доказательство, которое вы хотели.

Омар Нагиб · Answer 2

(Я) Очевидно, $P$ $P$ $п$ неотрицателен, так как $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $a^{*} a = | a |^{2}$ $^{*} знак равно | |^{2}$ неотрицательно для всех комплексных чисел $a$ ,

(ii) Вероятность найти частицу в бесконечно малом интервале между $x$ $x$ $Икс$ и $x + d x$ $x + d x$ $x + d x$ $x + d x$ $Икс + d Икс$ дан кем-то $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $P d x = | ψ (x, t) |^{2} d x$ $п d Икс знак равно | ψ (Икс, T) |^{2} d Икс$ где эта вероятность явно велика для больших $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ $| ψ |$ и наоборот.

(iii) Действительно, можно доказать, что смещение нуля энергии на постоянную (т.е. $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $V (x) \to V (x) + V_{o}$ $В (Икс) \to В (Икс) + В_{о}$ , где $V_{o}$ $V_{o}$ $V_{o}$ $V_{o}$ $В_{о}$ постоянная) изменяет общую фазу волновой функции так, чтобы $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (x, t) \to ψ (x, t) \exp (- i V_{o} t / ℏ)$ $ψ (Икс, T) \to ψ (Икс, T) ехр (- я В_{о} T / ℏ)$ , но это не влияет $P$ $P$ $п$ , поскольку $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $P_{new} = ψ_{new}^{*} ψ_{new} = [ψ^{*} \exp (+ i V_{o} t / ℏ)] [ψ \exp (- i V_{o} t / ℏ)] = ψ^{*} ψ = P$ $п_{новый} знак равно ψ_{новый}^{*} ψ_{новый} знак равно [ψ^{*} ехр (+ я В_{о} T / ℏ)] [ψ ехр (- я В_{о} T / ℏ)] знак равно ψ^{*} ψ знак равно п$ ,

(iv) Есть много способов доказать это; Один из способов - показать $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d x = 0$ $\frac{d}{d T} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ^{*} ψ d Икс знак равно 0$ Вы можете сделать это, потянув производную внутри интеграла и применив правило произведения к $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d t}$ $\frac{d [ψ^{*} ψ]}{d T}$ и используя уравнение Шредингера и интегрирование по частям, чтобы доказать желаемый результат.

Уважаемый Омар, большое спасибо за ваш ответ, но мой пост требует чего-то совершенно другого. Вы доказали это $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $п знак равно ψ^{*} ψ$ удовлетворяет требуемую собственность, и это стандартный персонал. Но мой вопрос о $uniqueness$ $uniqueness$ $уникальность$ из $P$ $P$ $п$ , Бом утверждает, что $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $P = ψ^{*} ψ$ $п знак равно ψ^{*} ψ$ по сути, уникальная функция $ψ$ $ψ$ $ψ$ и его частные производные, которые удовлетворяют требуемые свойства. Есть ли у вас идея доказать это утверждение?

Kostas · Answer 3

OP требует математического доказательства уникальности некоторых или всех свойств P, указанных Бомом. Легко видеть, что i), ii) и iii) могут быть нарушены по отдельности и даже вместе. Вот тривиальный пример: $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $P = (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ $п знак равно (Ψ^{*} Ψ + | \partial Ψ |^{2})^{2}$ Это не удовлетворяет iv) конечно. Доказать, что такое выражение не удовлетворяет требованиям iv), сложно. Один из способов сделать это - предположить, что P является полиномиальной функцией от Ψ и ее производных (это в примере), и доказать, что все коэффициенты полинома равны нулю, кроме коэффициента слагаемого с $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ $Ψ^{*} Ψ$ , Это глупый бизнес, но он может помочь вам, если вы пытаетесь понять, почему уравнение Шредингера является единственным возможным уравнением!

Я не собираюсь переписывать свой ответ, но вторая часть ii) говорит, что P «мал, когда | ψ | мал», это звучит как частные производные просто не допускаются. Тогда работа по доказательству iv) будет намного проще.

Маурицио Барбато · Answer 4

После долгих поисков в литературе я должен признать, что проблема установления единственности плотности вероятности для уравнения Шредингера, обсуждаемая Бомом, вызвала очень небольшой интерес. На самом деле единственная работа, которая явно имеет дело с этой проблемой, - это уникальность сохраняемых токов в квантовой механике , хотя проблема единственности ранее обсуждалась в контексте теории пилот-волн де Бройля-Бома (см. Цитируемые там статьи).

Холланд использует релятивистские соображения, чтобы показать единственность законсервированного тока для уравнения Клейна-Гордона, из которого он выводит в нерелятивистском пределе аналогичный результат единственности для уравнения Шредингера.

Во всяком случае, как тот же автор предложил мне в частном сообщении, более прямое доказательство может быть дано, если мы начнем непосредственно с уравнения Шредингера в случае потенциального $V$ $V$ $В$ :

я ℏ \frac{\partial ψ}{\partial T} (Икс, T) знак равно - \frac{ℏ^{2}}{2 м} Δ ψ (Икс, T) + В (Икс) ψ (Икс, T),

и использовать метод, который он вводит в своей статье, чтобы вывести все сохраненные токи

(P, J)

(P, J)

(P, J)

(P, J)

(п, J)

которые являются функциями только

ψ

ψ

ψ

, частные производные первого порядка

ψ

ψ

ψ

и в конце концов

V

V

В

, изучая их свойства преобразования при преобразованиях Галилея и при возможных изменениях

V

V

В

, Отметим, что мы должны быть осторожны в применении этой процедуры, так как

ψ

ψ

ψ

не инвариантен относительно преобразований Галилея, но изменяется соответствующим образом: см., например, Commins, Квантовая механика или инвариантность Галилея уравнения Шредингера .

Это даст общий набор сохраняемых токов, и мы могли бы исследовать, является ли дополнительное предположение, что $P$ $P$ $п$ должен зависеть только от $ψ$ $ψ$ $ψ$ а не на его частных производных первого порядка (что является частным следствием свойства (ii), требуемого Бомом), в конечном итоге подразумевает уникальное выражение для $P$ $P$ $п$ или нет. В последнем случае, чтобы получить уникальность, следует добавить какое-то другое условие (возможно, также полученное из свойства (ii), которое довольно расплывчато).

В любом случае, этот подход в любом случае будет страдать от недостатка общности, так как вы должны с самого начала предполагать, что $P$ $P$ $п$ и $J$ $J$ $J$ не зависят от частных производных $ψ$ $ψ$ $ψ$ порядка, превышающего единицу, предположение, которое, по-видимому, полностью отсутствует в обсуждении Бома, хотя и весьма правдоподобное предположение по физическим соображениям (см. замечание, сделанное по этому поводу Холландом в его работе). По этой причине я совершенно уверен, что этот подход был не тот, который имел в виду Бом, когда делал свое заявление об уникальности, хотя я понятия не имею о том, какой аргумент он мог бы представить.

Единственность функции вероятности для уравнения Шредингера

Маурицио Барбато

Авангард

Маурицио Барбато

Омар Нагиб

drvrm

knzhou

Ответы (4)

EuYu

Маурицио Барбато

EuYu

EuYu

Маурицио Барбато

EuYu

Омар Нагиб

Маурицио Барбато

Kostas

Kostas

Маурицио Барбато

Построение решений нестационарного уравнения Шредингера

О сложной природе волновой функции?

Как можно вывести уравнение Шредингера?

Лагранжиан поля Шредингера

Собственные функции вектора Рунге-Ленца

Рассеяние, возмущение и асимптотические состояния в формуле редукции LSZ

Может ли постоянная Планка быть выведена из уравнений Максвелла?

Помогите начинающим физикам, чем заниматься самостоятельно [закрыто]

Матрица спин-орбитальной связи в p-орбитальной основе

Дифференциальные и многоступенчатые усилители (BJT)