Уравнение Шредингера является основой для понимания квантовой механики, но как его получить? Я спросил своего инструктора, но он сказал мне, что это пришло из опыта Шредингера и его экспериментов. У меня вопрос: можно ли математически вывести уравнение Шредингера?
Имейте в виду, что «математический вывод» физического принципа, как правило, невозможен. Математика не касается реального мира, нам всегда нужен эмпирический вклад, чтобы решить, какие математические рамки соответствуют реальному миру.
Однако можно увидеть уравнение Шредингера, естественным образом возникающее из классической механики в процессе квантования. Точнее, мы можем мотивировать квантовую механику из классической механики исключительно с помощью теории Ли, как обсуждается здесь , давая рецепт квантования
для классической скобки Пуассона. Классическая эволюция наблюдаемых на фазовом пространстве
и поэтому его квантование является операторным уравнением
которое является уравнением движения в картине Гейзенберга. Поскольку картина Гейзенберга и Шредингера унитарно эквивалентна, это «вывод» уравнения Шредингера из классической механики фазового пространства.
Небольшое дополнение к великолепному ответу ACuriousMind, в ответ на некоторые комментарии, требующие вывода волнового уравнения Шредингера , используя результаты интегрального формализма пути Фейнмана :
(Примечание: сюда не могут быть включены все шаги, было бы слишком долго оставаться в контексте форума-обсуждения-ответа.)
В интегральном формализме пути каждому пути приписывается волновая функция Φ [ x ( t ) ] , что способствует общей амплитуде, скажем, от в б) Φ имеют одинаковую величину, но имеют разные фазы, что просто дано классическим действием S как было определено в лагранжевом формализме классической механики. Пока что имеем:
Обозначая общую амплитуду К ( а , б ) , данный:
Идею подойти к волновому уравнению, описывающему волновые функции как функцию времени, следует начать с деления временного интервала между - б в N небольшие интервалы длины ε и для лучшего обозначения, давайте использовать Икс К для данного пути между - б и обозначить полную амплитуду, включая ее зависимость от времени, как ψ ( х К , т ) ( Икс К захватили регион р ):
Теперь рассмотрим приведенное выше уравнение, если мы хотим узнать амплитуду в следующий момент времени т + ϵ :
Вышеупомянутое похоже на уравнение, предшествующее ему, разница, основанная на подсказке, что добавленный коэффициент с ехр ( я / ℏ ) S ( х к + 1 х К ) не включает ни одно из условий Икс я перед я < к Таким образом, интеграция может быть выполнена с учетом всех таких условий. Все это сводит последнее уравнение к:
Теперь цитата из оригинальной статьи Фейнмана, касающаяся вышеуказанного результата:
Это отношение, дающее развитие ψ со временем будет показано, для простых примеров, с подходящим выбором , чтобы быть эквивалентным уравнению Шредингера. На самом деле, приведенное выше уравнение не является точным, но верно только в пределе 0 → 0 и мы выведем уравнение Шредингера, предполагая, что это уравнение справедливо до первого порядка в ε , Вышесказанное должно быть верно только для маленьких ε до первого заказа в ϵ .
В своей оригинальной статье, следуя вычислениям для еще 2 страниц, откуда мы оставили вещи, он затем показывает, что:
отмена ψ ( х , т ) с обеих сторон, и сравнение условий с первым порядком в ε и умножение на - ℏ / я один получает
Я настоятельно рекомендую вам прочитать его оригинальную статью, не волнуйтесь, она действительно хорошо написана и читаема.
Литература: пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике Р.П. Фейнмана, апрель 1948 г.
Фейнмановские интегралы по путям в квантовой механике, Кристиан Эгли
Согласно Ричарду Фейнману в его лекциях по физике, том 3, и перефразировал «Уравнение Шредингера не может быть получено». Согласно Фейнману, он был придуман Шредингером, и это просто обеспечивает предсказания квантового поведения.
Фундаментальные законы физики не могут быть выведены (черепахи внизу и все такое).
Тем не менее, они могут быть мотивированы по-разному. Помимо прямых экспериментальных данных, вы можете поспорить по аналогии - в случае уравнения Шредингера были проведены сравнения с гамильтоновой механикой и уравнением Гамильтона-Якоби, гидродинамикой, броуновским движением и оптикой.
Другой подход заключается в аргументации математической «красотой» или необходимостью: вы можете посмотреть на различные способы моделирования системы и выбрать наиболее элегантный подход, согласующийся с наложенными вами ограничениями (т. Е. Рассуждение в духе «квантовой механики - единственный способ сделать это»). X 'для «естественных» или экспериментально необходимых значений X).
Хотя вообще невозможно вывести законы физики в математическом смысле слова, большую часть времени можно дать сильную мотивацию или обоснование. Такая невозможность проистекает из самой природы физических наук, которые пытаются протянуть всю несовершенную логику человеческого разума на естественные явления вокруг нас. При этом мы часто устанавливаем связи или интуитивные догадки, которые оказываются успешными при объяснении рассматриваемых явлений. Однако, если нужно указать, какая логическая последовательность использовалась при создании догадки, он был бы в растерянности - чаще всего такой логической последовательности просто не существует.
«Вывод» уравнения Шредингера и его успешная работа по объяснению различных квантовых явлений является одним из лучших (читай смелых, ошеломляющих и успешных) примеров интуитивного мышления и гипотез, которые приводят к большому успеху. Многие упускают то, что Шредингер просто привел идеи Луиса де Бройля к своему смелому заключению.
В 1924 году де Бройль предположил, что с каждой движущейся частицей может быть связано волновое явление. Обратите внимание, что он не сказал, что каждая частица была волной или наоборот. Вместо этого он просто пытался сосредоточиться на странных экспериментальных результатах, которые были получены в то время. Во многих из этих экспериментов вещи, которые, как обычно ожидали, вели себя как частицы, также демонстрировали волновое поведение. Именно эта головоломка побудила де Бройля выдвинуть свою знаменитую гипотезу λ = h п , В свою очередь, Шредингер использовал эту гипотезу, а также результаты Планка и Эйнштейна ( Е = h ν ) произвести его одноименное уравнение.
Насколько я понимаю, Шредингер первоначально работал, используя формализм Гамильтона-Якоби классической механики, чтобы получить его уравнение. В этом он последовал за самим де Бройлем, который также использовал этот формализм для получения некоторых своих результатов. Если человек знает этот формализм, он может действительно следовать шагам оригинального мышления. Тем не менее, существует более простой и прямой способ получения уравнения.
А именно, рассмотрим основное гармоническое явление:
Y = A s i n ( w t - δ )
для частицы, движущейся вдоль Икс -ось,
Y = A s i n 2 π v λ ( т - х v )
Предположим, у нас есть частица, движущаяся вдоль Икс -ось. Назовем волновую функцию (аналогичную электрическому полю фотона), связанную с ней ψ ( х , т ) , Мы ничего не знаем об этой функции в данный момент. Мы просто дали название феномену, который наблюдали экспериментаторы и следуют гипотезе де Бройля.
Самая основная волновая функция имеет следующий вид: ψ = A e - я ω ( т - х v ) , где v является скоростью частицы, связанной с этим волновым явлением.
Эта функция может быть переписана как
ψ = A e - я 2 π ν ( т - х ν λ ) = A e - я 2 π ( ν т - х λ ) , где ν - частота колебаний и Е = h ν , Мы видим, что ν = E 2 π ℏ Последнее, конечно, результат Эйнштейна и Планка.
Давайте явным образом приведем результат де Бройля в эту мысль:
λ = h п = 2 π ℏ п
Подставим значения из результатов де Бройля и Эйнштейна в формулу волновой функции.
ψ = A e - я 2 π ( E T 2 π ℏ - х р 2 π ℏ ) = A e - я ℏ ( E т - х р ) ( ∗ )
это волновая функция, связанная с движением неограниченной частицы полной энергии Е , импульс п и движется по положительному Икс -направление.
Мы знаем из классической механики, что энергия является суммой кинетической и потенциальной энергий.
Е = К , Е , + P , Е , = м в 2 2 + V = р 2 2 м + V
Умножьте энергию на волновую функцию, чтобы получить следующее:
Е ψ = р 2 2 м V + V ψ
Далее, обоснование состоит в том, чтобы получить нечто похожее на волновое уравнение из электродинамики. А именно, нам нужна комбинация производных пространства и времени, которую можно связать обратно в выражение для энергии.
Давайте теперь дифференцировать ( ∗ ) в отношении Икс ,
∂ ψ ∂ Икс = A ( я р ℏ ) е - я ℏ ( E т - х р )
∂ 2 ψ ∂ Икс 2 = - A ( p 2 ℏ 2 ) е - я ℏ ( E т - х р ) = р 2 ℏ 2 ψ
Следовательно, п 2 ψ = - ℏ 2 ∂ 2 ψ ∂ Икс 2
Производная по времени выглядит следующим образом:
∂ ψ ∂ T = - А я Е ℏ е - я ℏ ( E т - х р ) = - я E ℏ ψ
Следовательно, Е ψ = - ℏ я ∂ ψ ∂ T
Выражение для энергии, которое мы получили выше, было Е ψ = р 2 2 м V + V ψ
Подставляя результаты, включающие производные по времени и пространству, в выражение энергии, получим
- я ℏ ∂ ψ ∂ T = - ℏ 2 2 м ∂ 2 ψ ∂ Икс 2 + V ψ
Это, конечно, стало более известным как уравнение Шредингера.
В этом «происхождении» есть несколько интересных вещей. Одним из них является то, что как квантование Эйнштейна, так и гипотеза де Бройля о волновой материи были использованы в явном виде. Без них было бы очень сложно прийти к этому уравнению интуитивно, как это делал Шредингер. Более того, полученное уравнение отличается по форме от стандартного волнового уравнения, хорошо известного из классической электродинамики. Это происходит потому, что порядки частичного дифференцирования по пространственным и временным переменным меняются местами. Если бы Шредингер пытался подобрать форму классического волнового уравнения, он, вероятно, ни к чему не привел.
Тем не менее, так как он искал что-то, содержащее п 2 ψ и Е ψ , правильный порядок производных был по существу предопределен для него.
Примечание: я не утверждаю, что это происхождение следует за работой Шредингера. Однако дух, мышление и интуиция времени более или менее сохраняются.
В математике вы выводите теоремы из аксиом и существующих теорем.
В физике вы выводите законы и модели из существующих законов, моделей и наблюдений.
В этом случае мы можем начать с наблюдений в фотоэлектрическом эффекте, чтобы получить связь между энергией фотона и частотой. Затем перейдем к специальной теории относительности, где мы наблюдали, что скорость света постоянна во всех системах отсчета. Отсюда, обобщая кинетическую энергию, мы можем получить эквивалентность энергии по массе. Комбинируя их, мы можем присвоить фотону массу, следовательно, мы можем получить импульс фотона как функцию волнового числа.
Обобщая отношение энергии-частоты и импульса-волнового числа, когда есть отношения Дебройля . Который применим к любым частицам.
Предполагая, что частица имеет нулевую энергию, когда она стоит на месте ( вы можете сделать это ), хотя это не вызовет особых проблем, если вы оставите там постоянный член, на более поздних этапах вы можете просто поместить его в левую часть уравнение. Мы можем иметь дело с кинетической энергией. Подставляя нерелятивистскую кинетику в отношение и переупорядочивая, мы можем иметь следующее дисперсионное соотношение:
Волновое уравнение может быть получено из дисперсионного соотношения волн вещества, используя способ, который я упоминал в этом ответе .
В этом случае нам понадобится лапласиан и производная первого раза:
Умножение производной по времени на - 2 м я ℏ мы можем обнулить правую сторону:
Мы можем изменить его порядок, чтобы получить зависящее от времени уравнение Шредингера свободной частицы:
На мой взгляд, есть два чувства, в которых мы можем «получить» результат в физике. Новые теории пытаются устранить недостатки старых, улучшая то, что у нас уже есть, давая новые результаты. Они также восстанавливают старые результаты. Я полагаю, мы можем назвать оба вывода.
Например, TISE и TDSE были впервые получены, потому что квантовая механика сказала, что, где классическая механика подразумевает е = 0 , мы должны иметь е ^ | 0⟩ = 0 , с е ^ продвижение оператора е , который в этом случае е = E - р 2 2 м - V с операторами Е = я ℏ ∂ T , р = - я ℏ ∇ , (Некоторые результаты становятся слабее Ψ ψ | е ^ | 0⟩ = 0 например, с е = д п d T + ∇ V так что я не совсем честен здесь. Но мы ожидаем Е ^ -собственные состояния важны, потому что распределение вероятностей Е сохраняется.)
Обратите внимание, что вышеприведенный абзац суммирует, как Шредингер был выведен в первом смысле, а заключительная скобка указывает на то, как второй закон Ньютона был «выведен» во втором смысле. И все, кто говорит об интегралах по путям, намекают на вывод типа 2 для обоих результатов (интегралы по путям получают амплитуду перехода в терминах е я S с S классическое действие теперь чудесным образом выходит из шапки, поэтому технически наше прямое восстановление имеет лагранжеву механику, а не эквивалентную ньютоновскую формулировку).
Я оставлю людей на борьбу за то, какой тип деривации «действителен» или «лучше», но физическое понимание требует частых доз обоих. Я думаю, что стоит выделить их в такой дискуссии.
Пузырь
Дэвид З ♦
пользователь 170039