Послушайте, доктор Заславский совершенно прав. Но. Великий математик Жан Лере однажды, после того, как его попросили подумать о работе Маслова по асимптотическим методам аппроксимации решений уравнений в частных производных, являющихся обобщениями метода ВКБ, в 70-х годах решил написать целую книгу под названием « Лагранжев анализ и квант». Механика, обратите внимание, что он придает свое особое значение «Анализу Лагранжа». MIT Press, см. Хороший реферат, озаглавленный «Смысл асимптотического метода Маслова: необходимость постоянной Планка в математике».

Это не является выводом величины константы Планка из уравнений Максвелла, но это глубокая мотивация, почему должна существовать некоторая конечная, малая постоянная, такая как Планка, с точки зрения того, что каустика, которую вы получаете в геометрической оптике, не может быть физической, и все же геометрическая оптика должна быть полезным приближением к волновой оптике. С этой точки зрения, должна быть некоторая постоянная, как постоянная Планка, по крайней мере, в чистой математике.

Это, однако, очень продвинуто: недоступно, если вы уже не знаете об интегральных операторах Фурье в симплектических многообразиях, таких как в книге Дуйстермаата или Гийемена и Штернберга, Symplectic Techniques in Physics. Оригинальная книга Маслова, хотя и не строгая, но очень проницательная и более доступная.

Для физика, тем не менее, возможно, более важными могут быть только основы гамильтонова связи между геометрической оптикой и волновой оптикой и основы метода ВКБ.

Если вы говорите о получении значения постоянной Планка, то нет, это невозможно. Значение является просто следствием выбранной нами системы единиц.

Если вы говорите о выводе факта, что нечто, аналогичное постоянной Планка, вообще должно существовать, то я считаю, что ответ все еще нет. В некоторой степени это также является следствием нашей системы единиц, поскольку, если вы используете полностью натуральные единицы, постоянная Планка имеет значение 1, и поэтому она никогда не будет отображаться в уравнениях. Но помимо этого, исходным контекстом, в котором был предложен контекст, было квантование энергии, а именно то, что энергия электромагнитной волны квантуется в единицах ч ф , Это можно считать основополагающим предположением квантовой механики. Константа Планка является частью этого предположения, поэтому вы не можете назвать это производным результатом.

Дэвид З и Джозеф Ф. Джонсон дают, на мой взгляд, хорошее описание того, как постоянная Планка не может быть получена из уравнений Максвелла (хотя Джозеф приводит и другие аргументы, почему должна существовать постоянная типа Планка).

Однако, глядя на вопрос с несколько иной точки зрения: если кто-то решает, что свет квантуется, то в классической оптике есть мысленный эксперимент, который мотивирует форму закона Планка, то есть, что квант энергии света должен быть пропорционален его частота. Опять же, значение константы пропорциональности не может быть получено из уравнений Максвелла, но я думаю, что следующее интересно, поскольку уравнения Максвелла вместе со специальной теорией относительности показывают, что закон квантования должен иметь определенную форму.

Наш мысленный эксперимент касается света в идеальном оптическом резонаторе, состоящем из двух совершенно параллельных зеркал с плоскими волнами, отражающимися между ними.

Теперь мы «подавляем свет», собирая вместе зеркала: мы мгновенно разгоняем правую руку, чтобы v метров в секунду движется навстречу другому, который стоит неподвижно. Через некоторое время мы прекращаем раздавить, снова замедляясь от v метров в секунду, чтобы отдохнуть мгновенно.

Физический обзор

Если вы выполняете вычисления, то, конечно, обнаруживаете, что проделанная работа по перемещению зеркал проявляется как энергия в поле резонатора. Но в то же время отскок импульса в полости сохраняет свою первоначальную функциональную форму - но аргумент функциональной формы К Z - ω T масштабируется так, что постоянная форма импульса сокращается, чтобы идеально вписаться в усадочную полость. Это доплеровское смещение в другом облике - представление Фурье (ковариантное пространство волновых чисел) просто равномерно расширяется, и масштабный коэффициент - это тот же масштабный коэффициент, применяемый к энергии поля. В качестве альтернативы, мы могли бы представить, как энергия отбрасывается от света, позволяя полости расширяться «адиабатически» и работать против внешней силы. Тогда, конечно, мы получили допплеровское красное смещение; опять же, доплеровский масштабный коэффициент - это тот же масштабный коэффициент, который применяется к энергии истощения поля. Это центральная точка:

Коэффициент доплеровского сдвига такой же, как коэффициент масштабирования энергии .

Теперь предположим, что мы думаем о классической энергии этого поля как о появлении любого числа «фотонов» (скажем, N ) все в том же состоянии в начале эксперимента. Предположительно, если мы раздавим достаточно медленно, чтобы адиабатичность сохранялась (см. Вики-страницу «Теорема адиабатичности») , можно было бы разумно истолковать поле как находящееся в N состояние числа фотонов впоследствии. Откуда: если мы действительно можем предположить одинаковое количество фотонов, каждый из которых находится в одинаковом состоянии, которое изменяется в течение всего эксперимента, в начале и в конце, то:

Энергия каждого фотона должна быть пропорциональна его частоте .

И все это, кажется, полностью исходит из формы преобразования Лоренца и уравнений Максвелла.

Стоит отметить, обращаясь к теореме адиабатичности Борна Фока, что этот результат не зависит от скорости зеркала v , Мы можем наматывать зеркала вместе так медленно, как нам хочется, поэтому есть хотя бы правдоподобие для этой идеи. Конечно, здесь есть некоторые круговые рассуждения - нужно правильно определить квантовые состояния, чтобы осмысленно говорить об адиабатичности, а до этого нужно принять результат Планка или какой-то другой постулат, чтобы построить вторую квантованную теорию, чтобы сделать идею из N -фотонное число состояний строгое; даже если кто-то это сделал, я должен признать, что не могу даже понять, как написать второе квантованное описание полости с подвижным зеркалом, может быть, это новый вопрос. Но, если представить себе возвращение во времени ко дню Планка, можно представить себе мысленный эксперимент, подобный этому, который можно было бы принять за мотивацию. Е = h ν , Идея второго квантования электромагнитного поля не начала формироваться, пока Дирак не подумал об этом спустя 26 лет после того, как Планк предложил свой закон в 1900 году. Таким образом, перед идеями Дирака физика должна была думать в терминах, подобных описанному выше эксперименту над мыслью, который, по-видимому, наши ретроспективные точки зрения, чтобы просить задание. Возможно, какой-то рабочий начала двадцатого века придумал этот мысленный эксперимент.

Некоторые детали

Вот некоторые подробности в моем мысленном эксперименте. Расчеты просты, но сложны.

Сначала рассмотрим одномерное рассеяние электромагнитной волны от идеального отражателя на плоскости. Z = 0 , Слева от отражателя уравнения Максвелла могут быть выполнены одномерными плоскими волнами в виде:

где Е а также В соответственно электрическое поле и магнитная индукция, е любая произвольная форма импульса, с световая скорость в свободном пространстве, J s поверхностный ток (в амперах на метр) в идеальном отражателе, F s сила на единицу площади на проводнике и U ступенчатая функция Хевисайда. Сила наиболее точно рассчитывается методом виртуальной работы; Чтобы понять расчет по формуле силы Лоренца, необходимо рассчитать рассеяние на металле с конечной проводимостью σ как в методе 3 моего ответа здесь , интегрировать плотность сил тела J ∧ B а затем принять предел как σ → ∞ глубина кожи δ → 0 и плотность тока тела, таким образом, становится поверхностным током. Этот результат отличается в два раза от "легкого" результата J s ∧ B получено путем применения формулы силы Лоренца без внимания к процессу ограничения, который определяет идеальную проводимость и текущий лист. Молчаливо было сделано предположение, что проводимость самолета σ отрабатывает σ >> ω м х х ε где ω м х х самая высокая частота "значительного" компонента Фурье е 0 ( ) ,

Теперь мы хотим знать, что происходит, когда идеальный отражатель смещается влево, так что его скорость - v Z ^ , Конечно, результат может быть найден путем расчета полей, видимых наблюдателем, движущимся равномерно со скоростью v Z ^ , Выполнив соответствующее преобразование Лоренца по уравнению (1), можно найти: