Матрица спин-орбитальной связи в p-орбитальной основе

Question

Матрица спин-орбитальной связи в p-орбитальной основе

Физика
Угловой-момент
Квантово-спиновой
Квантовая-механика

научно опосредованных

Итак, у меня есть следующий гамильтониан, унаследованный от атомной физики:

{ЧАС}_{S О С} знак равно α \vec{L} \cdot \vec{S} знак равно \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{Z} σ^{Z})

Где L - момент импульса, S - спин, и $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ $L^{\pm} (σ^{\pm})$ является оператором шага вверх / вниз по угловому моменту (спину).

Сейчас в основе $p$ $p$ $п$ орбитали и вращение: ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| п_{Икс} ↑ ⟩, | п_{Икс} ↓ ⟩, | п_{Y} ↑ ⟩, | п_{Y} ↓ ⟩, | п_{Z} ↑ ⟩, | п_{Z} ↓ ⟩}$ мы получаем следующее $6 \times 6$ $6 \times 6$ $6 \times 6$ матрица:

{ЧАС}_{S О С} знак равно \frac{α}{2} (\begin{matrix} 0 & - я & 0 & 0 & 0 & 1 \\ я & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & я & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & я & 0 \\ 0 & 0 & - я & - я & 0 & 0 \\ 1 & я & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Извините за незнание, но как именно рассчитываются эти матричные элементы?

Я понимаю, что первый матричный элемент - это энергия спиновой орбитальной связи $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ p_{x} ↑ |$ $⟨ п_{Икс} ↑ |$ электрон действует на $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| п_{Икс} ↑ ⟩$ электрон, поскольку они имеют одинаковую ориентацию, энергия, безусловно, должна быть равна нулю. Но теперь у нас есть $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ p_{y} ↑ |$ $⟨ п_{Y} ↑ |$ электрон действует на $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| p_{x} ↑ ⟩$ $| п_{Икс} ↑ ⟩$ орбитальный и мы получаем $i$ $i$ $я$ , Как это рассчитывается? Может кто-то показать шаги для расчета одного матричного элемента, чтобы я мог видеть, как это делается. И нет, это не домашняя работа или что-то еще, просто мое личное любопытство.

В Интернете я нашел что-то похожее, но они использовали коэффициенты Клебша – Гордана, что смутило меня больше.

AccidentalFourierTransform

Написать

p

p

п

орбитали в терминах сферических гармоник (например,

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

| п_{Икс} ⟩ знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (| + 1 ⟩ + | - 1 ⟩

). С этим,

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | p_{x} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

L^{+} | п_{Икс} ⟩ знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (L^{+} | + 1 ⟩ + L^{+} | - 1 ⟩) знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + | 0 ⟩)

, и т.д.

научно опосредованных

Хм, хорошо, это отправная точка - хотя я не уверен, как вы выражаете орбиту p_x таким образом, в нотации Дирака. А потом ... как вы включаете оператор вращения и как вы на самом деле находите матричные элементы между двумя электронами

AccidentalFourierTransform

смотрите здесь

научно опосредованных

@AccidentalFourierTransform Извините, что надоедаю, но я действительно не понимаю, как получить матричные элементы. Был на это некоторое время. Можете ли вы просто сделать пример для меня? Скажите первый столбец второй элемент строки

i

i

я

, Думаю, мне просто нужно увидеть проработанный пример, чтобы понять это. Спасибо, что так любезно.

Ответы (2)

Матрица спин-орбитальной связи в p-орбитальной основе

Хм, хорошо, это отправная точка - хотя я не уверен, как вы выражаете орбиту p_x таким образом, в нотации Дирака. А потом ... как вы включаете оператор вращения и как вы на самом деле находите матричные элементы между двумя электронами
@AccidentalFourierTransform Извините, что надоедаю, но я действительно не понимаю, как получить матричные элементы. Был на это некоторое время. Можете ли вы просто сделать пример для меня? Скажите первый столбец второй элемент строки $i$ $i$ $я$ , Думаю, мне просто нужно увидеть проработанный пример, чтобы понять это. Спасибо, что так любезно.

ZeroTheHero · Answer 1

Во-первых, я думаю, что ваш $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ $H_{S O C}$ ${ЧАС}_{S О С}$ неверно и должен читать:

\begin{matrix} (1) & {ЧАС}_{S О С} знак равно \frac{α}{2} (L_{+} σ_{-} + L_{-} σ_{+} + L_{Z} σ_{Z}), \end{matrix}

Суть вашей проблемы в том, что она использует реальные сферические гармоники, а не сложную экспоненциальную форму, более распространенную в физике и лучше адаптированную для оценки матричных элементов. Преобразование между ними можно найти на этой вики-странице.

Таким образом:

\begin{aligned} (2) & п_{Y} & знак равно \frac{я}{\sqrt{2}} (Y_{1}^{- 1} + Y_{1}^{1}) \Rightarrow | п_{Y} ⟩ знак равно \frac{я}{\sqrt{2}} (| 1, - 1 ⟩ + | 1, 1 ⟩), \\ (3) & п_{Икс} & знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (Y_{1}^{- 1} - Y_{1}^{1}) \Rightarrow | п_{Y} ⟩ знак равно \frac{я}{\sqrt{2}} (| 1, - 1 ⟩ + | 1, 1 ⟩), \\ (4) & п_{Z} & знак равно Y_{1}^{0} \Rightarrow | п_{Z} ⟩ знак равно | 1, 0 ⟩, \end{aligned}

где аргументы

(θ, φ)

(θ, φ)

(θ, φ)

из

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{m}

Y_{ℓ}^{м}

были опущены для ясности.

Следующий шаг - вспомнить действие различных операторов на $Y_{ℓ m}$ $Y_{ℓ m}$ $Y_{ℓ m}$ $Y_{ℓ m}$ $Y_{ℓ м}$ :

\begin{aligned} (5) & {\hat{L}}_{\pm} Y_{ℓ}^{м} & знак равно \sqrt{(ℓ \mp м) (ℓ \pm м + 1)} Y_{ℓ}^{м \pm 1}, \\ (6) & {\hat{L}}_{Z} Y_{ℓ}^{м} & знак равно м Y_{ℓ}^{м} \end{aligned}

например, из которого получается (если я не делал очевидных ошибок), матричное представление

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

в основании

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| p_{x} ⟩, | p_{y} ⟩, | p_{z} ⟩}

{| п_{Икс} ⟩, | п_{Y} ⟩, | п_{Z} ⟩}

\begin{aligned} (7) & {\hat{L}}_{+} | п_{Икс} ⟩ & знак равно | п_{Z} ⟩ {\hat{L}}_{+} | п_{Y} ⟩ знак равно я | п_{Z} ⟩ {\hat{L}}_{+} | п_{Z} ⟩ знак равно - | п_{Икс} ⟩ - я | п_{Y} ⟩, \end{aligned}

и что

\begin{aligned} (8) & {\hat{L}}_{+} \to (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - я \\ 1 & я & 0 \end{array}), {\hat{L}}_{-} \to (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - я \\ - 1 & я & 0 \end{array}), \end{aligned}

поскольку матричное представление для

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

{\hat{L}}_{-}

будет транспонировать сопряженное матричное представление для

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

{\hat{L}}_{+}

, Точно так же:

\begin{aligned} (9) & {\hat{σ}}_{+} | ↑ ⟩ & знак равно 0, {\hat{σ}}_{+} | ↓ ⟩ знак равно | ↑ ⟩, {\hat{σ}}_{-} | ↑ ⟩ знак равно | ↓ ⟩, {\hat{σ}}_{-} | ↓ ⟩ знак равно 0, \end{aligned}

Следовательно:

\begin{aligned} (10) & {\hat{L}}_{+} {\hat{σ}}_{-} | п_{Икс}; ↑ ⟩ & знак равно [{\hat{L}}_{+} | п_{Икс} ⟩] [{\hat{σ}}_{-} | ↑ ⟩] знак равно | п_{Z} ⟩ | ↓ ⟩ знак равно | п_{Z}; ↓ ⟩, \\ (11) & {\hat{L}}_{-} {\hat{σ}}_{+} | п_{Икс}; ↑ ⟩ & знак равно 0, \\ (12) & {\hat{L}}_{Z} {\hat{σ}}_{Z} | п_{Икс}; ↑ ⟩ & знак равно [{\hat{L}}_{Z} | п_{Икс} ⟩] [{\hat{σ}}_{Z} | ↑ ⟩] знак равно я | п_{Y} ⟩ | ↑ ⟩ знак равно я | п_{Y}; ↑ ⟩ \end{aligned}

Это не совсем первый столбец вашей матрицы, но, насколько я понимаю, эта матрица также не совсем корректна, поскольку она должна быть эрмитовой, но это не так: например, элемент матрицы в позиции

(2, 6)

(2, 6)

(2, 6)

должен быть комплексным сопряжением матричного элемента в положении

(6, 2)

(6, 2)

(6, 2)

, В любом случае, мой расчет дал бы элементы в первом столбце как

\begin{matrix} (13) & (0, 0, я, 0, 0, 1)^{T} \end{matrix}

Это может быть потому, что базовые элементы упорядочены как ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| p_{x} ↑ ⟩, | p_{y} ↑ ⟩, | p_{z} ↑ ⟩, | p_{x} ↓ ⟩, | p_{y} ↓ ⟩, | p_{z} ↓ ⟩}$ ${| п_{Икс} ↑ ⟩, | п_{Y} ↑ ⟩, | п_{Z} ↑ ⟩, | п_{Икс} ↓ ⟩, | п_{Y} ↓ ⟩, | п_{Z} ↓ ⟩}$ а не порядок, который вы даете (иначе вполне возможно, что я где-то допустил ошибку). С этим заказом моя первая колонка вышла бы как $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0, i, 0, 0, 0, 1)^{T}$ $(0, я, 0, 0, 0, 1)^{T}$ , который идентичен вашему. Обратите внимание, что это не решает проблему герметичности, упомянутую ранее.

Другие столбцы находятся таким же образом.

Rudi_Birnbaum · Answer 2

Например, посмотрите на запись 1,2:

$(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $(H_{S O C})_{1, 2} = < p_{x} ↑ | H_{S O C} | p_{x} ↓> = < p_{x} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{z} σ^{z}) | p_{x} ↓> =$ $({ЧАС}_{S О С})_{1, 2} знак равно < п_{Икс} ↑ | {ЧАС}_{S О С} | п_{Икс} ↓> знак равно < п_{Икс} ↑ | \frac{α}{2} (L^{+} σ^{+} + L^{-} σ^{-} + L^{Z} σ^{Z}) | п_{Икс} ↓> знак равно$

$= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $= \frac{α}{2} (< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{-} σ^{-} | p_{x} ↓> + < p_{x} ↑ | L^{z} σ^{z} | p_{x} ↓>) .$ $знак равно \frac{α}{2} (< п_{Икс} ↑ | L^{+} σ^{+} | п_{Икс} ↓> + < п_{Икс} ↑ | L^{-} σ^{-} | п_{Икс} ↓> + < п_{Икс} ↑ | L^{Z} σ^{Z} | п_{Икс} ↓>),$

Это все становится длиннее, поэтому давайте посмотрим только на первое слагаемое, здесь оператор спин-лестница действует только на вращающуюся часть продукта, а лестница вверх ускоряет вращение вниз, поэтому мы получаем:

$< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< p_{x} ↑ | L^{+} σ^{+} | p_{x} ↓> = <↑↑>< p_{x} | L^{+} | p_{x} >$ $< п_{Икс} ↑ | L^{+} σ^{+} | п_{Икс} ↓> знак равно <↑↑> < п_{Икс} | L^{+} | п_{Икс} >$ ,

в выражении справа от знака равенства «интеграл» по функциям только координаты вращения находится слева, а интеграл по пространству - справа, и с вышеописанным материалом из AccidentialFourierTransform (фактически о том, как выразить сферические гармоники в основе, которая может быть оценена с помощью лестничных операторов), что дает

$1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < p_{x} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > = \frac{1}{\sqrt{2}} < p_{x} | 0 > = . . . = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 = 0.$ $1 \cdot < п_{Икс} \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 + | 0 > знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} < п_{Икс} | 0 > знак равно,,, знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 знак равно 0.$

Это о том, что вы должны сделать, чтобы оценить эти матричные элементы (с некоторыми ошибками).

Матрица спин-орбитальной связи в p-орбитальной основе

научно опосредованных

AccidentalFourierTransform

научно опосредованных

AccidentalFourierTransform

научно опосредованных

Ответы (2)

ZeroTheHero

Rudi_Birnbaum

Классическое доказательство гиромагнитного отношения g = 2 g = 2

Собственные функции вектора Рунге-Ленца

О сложной природе волновой функции?

Построение решений нестационарного уравнения Шредингера

Может ли постоянная Планка быть выведена из уравнений Максвелла?

Помогите начинающим физикам, чем заниматься самостоятельно [закрыто]

Единственность функции вероятности для уравнения Шредингера

Как можно вывести уравнение Шредингера?

Дифференциальные и многоступенчатые усилители (BJT)

Как переписать функцию перевода в стандартную форму?