Электромагнитный тензор в цилиндрических координатах

Просто используйте якобиан преобразования системы координат. Если ваши декартовы координаты$\mu$и$\nu$и ваши цилиндрические координаты$\mu', \nu'$, то есть якобиан${f_\mu}^{\mu'}$что позволяет писать

$$F^{\mu' \nu'} = F^{\mu \nu} {f_\mu}^{\mu'} {f_\nu}^{\nu'}$$

где якобиан определяется выражением

$${f_\mu}^{\mu'} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu}$$

---

Это все хорошо, но вы можете подумать, что это немного абстрактно, и... так оно и есть. Вместо этого есть другой способ сделать это, используя так называемую геометрическую алгебру .

В геометрической алгебре тензор ЭМ называется бивектором и принимает вид

$$F = F_{tx} e^t \wedge e^x + F_{ty} e^t \wedge e^y + \ldots = \frac{1}{2} F_{\mu \nu} e^\mu \wedge e^\nu$$

где$e^\mu$представляют собой базисные ковекторы. То, что мы здесь использовали, называется клиновым произведением , и ортогональные базисные векторы будут антикоммутировать под ним.

Чтобы извлечь компоненты в новом базисе, у вас есть несколько вариантов: (1) вы можете написать базисные ковекторы в терминах цилиндрического базиса и упростить. Так что это повлечет за собой написание$e^x$и$e^y$с точки зрения$e^\rho$и$e^\phi$. Это эквивалентно нахождению обратного якобиана.

Однако есть и другой вариант (2), который состоит в том, чтобы просто взять скалярное произведение базисных векторов$e_\rho \wedge e_t, e_\phi \wedge e_t$и так далее с$F$. Это требует немного больше знаний по геометрической алгебре, но вы можете написать$e_\rho \wedge e_t$с точки зрения$e_x \wedge e_t, e_y \wedge e_t$и так далее, что может быть более простым вычислением.

Я сделаю последнее здесь, чтобы продемонстрировать технику. Видеть, что$e^\rho = e^x \cos \phi + e^y \sin \phi$. Затем мы можем найти$F^{t \rho}$как:

$$\begin{align*}F^{t\rho} &= F \cdot (e^\rho \wedge e^t) \\ &= F \cdot (e^x \wedge e^t \cos \phi + e^y \wedge e^t \sin \phi) \\ &= F^{tx} \cos \phi + F^{ty} \sin \phi \end{align*}$$

Это не более экзотично, чем нахождение компонентов вектора в новом базисе путем нахождения проекции вектора на каждый новый базисный вектор.