Простой вывод уравнений Максвелла из электромагнитного тензора

Начнем с рассмотрения электромагнитного тензора Ф мю ν :

Ф мю ν "=" [ 0 − Е Икс / с − Е у / с − Е г / с Е Икс / с 0 − Б г Б у Е у / с Б г 0 − Б Икс Е г / с − Б у Б Икс 0 ]
А теперь рассмотрим уравнение Максвелла:
∇ ⋅ Е → "=" р ε 0
∇ ⋅ Б → "=" 0
∇ × Е → "=" − ∂ Б → ∂ т
∇ × Б → "=" мю 0 Дж → + мю 0 ε 0 ∂ Е → ∂ т
Утверждается , что первое и четвертое уравнения эквивалентны следующему тензорному уравнению:
∂ мю Ф мю ν "=" мю 0 Дж ν
(где: Дж ν "=" ( с р , Дж → ) ) и что второе и третье уравнения также эквивалентны:
г Ф "=" 0
где г Ф это просто ярлык для записи:
∂ λ Ф мю ν + ∂ ν Ф λ ν + ∂ мю Ф ν λ
Моя цель — доказать, используя тензорную алгебру, что это утверждение действительно верно: Давайте начнем, первая часть утверждения проста; если мы подумаем о первом члене:
∂ мю Ф 1 "=" мю 0 Дж 1
мы получаем:
1 с ( ∂ Е Икс ∂ Икс + ∂ Е у ∂ у + ∂ Е г ∂ г ) "=" мю 0 с р   ⇒   ∇ ⋅ Е → "=" мю 0 с 2 р   ⇒   ∇ ⋅ Е → "=" р ε 0
Замечательный! Применяя тот же процесс к другим членам, мы можем видеть, что это тензорное уравнение также равно четвертому уравнению Максвелла.
Давайте теперь подумаем о второй части утверждения, о том, что г Ф ; на этот раз мы можем видеть, что левая часть тензорного уравнения является тензором третьего ранга, мы можем думать о нем как о трехмерной матрице. Теперь: все члены матрицы, согласно уравнению, равны нулю, поэтому получаем 4 3 "=" 64 скалярное уравнение, которое вместе должно быть эквивалентно оставшимся двум уравнениям Максвелла. Однако мне кажется, что это гигантское количество алгебры.

Вопрос: Есть ли лучший или более быстрый способ доказать правильность рассматриваемого утверждения?

мы получаем скалярное уравнение 4 × 3 = 12. Я не понимаю вашей логики. Вы, вероятно, имели в виду 4 3 "=" 64 уравнения. Но г Ф "=" 0 на самом деле всего четыре уравнения. Чтобы получить что-то нетривиальное, нужно выбрать λ , мю , и ν быть разными индексами, и есть только четыре способа сделать это. Просто запишите эти четыре уравнения и убедитесь, что они являются другими уравнениями Максвелла. Убедите себя, что если есть, то при одинаковых индексах г Ф "=" 0 сводится к 0 "=" 0 .
Вы абсолютно правы, я уже отредактировал свой вопрос.

Ответы (3)

Возможно, самый быстрый способ — использовать внешнюю алгебру: начните с записи тензора Фарадея в виде

Ф "=" Е Икс   г т ∧ г Икс + Е у   г т ∧ г у + Е г   г т ∧ г г + Б Икс   г у ∧ г г + Б у   г г ∧ г Икс + Б г   г Икс ∧ г у

а затем взять внешнюю производную г Ф чтобы получить

г Ф "=" ∂ Е Икс ∂ у   г т ∧ г Икс ∧ г у + ⋯ + ∂ Б Икс ∂ т   г т ∧ г у ∧ г г + ∂ Б Икс ∂ Икс   г Икс ∧ г у ∧ г г + ⋯

и приравнивая г Ф до 0, вы видите, что почленно, что дает вам

∇ × Е + ∂ Б ∂ т "=" 0 ∧ ∇ ⋅ Б "=" 0 ,

Чтобы получить два других уравнения, сделайте то же самое с г ⋆ Ф + Дж "=" 0 , где ⋆ обозначает дуальное по Ходжем (т. е. если положить г "=" ⋆ Ф , затем г имеет компоненты Б где те из Е были и составные части − Е где те из Б были, или противоположные знаки, не помню).

Вы можете абстрагироваться от этого и представить 2-форму в терминах ее полярной и осевой частей, скажем Ф "=" ( Е , Б ) . Тогда внешняя производная дает вам 3-форму плотности, которая двойственна 1-вектору ( ∇ ⋅ Б , ∇ × Е + ∂ Б ∂ т ) . С обменом ( Е , Б ) ↦ ( Б , − Е ) тогда вы получите 3-форму г г с двойным 1-вектором ( − ∇ ⋅ Е , ∇ × Б − ∂ Е ∂ т ) .

В основном вы правы: в выражении много избыточности, и получается, что оно приводит к множеству копий однородных уравнений Максвелла. Но индексная нотация может вам помочь. Если вы сохраняете индексы как можно более общими, вам не нужно получать все повторяющиеся версии одну за другой. Вы получаете их все сразу.

Я бы рекомендовал сначала выбрать конкретное значение для двух индексов, скажем, выбрать λ "=" 0 , и мю "=" 1 , и посмотрите, что у вас получится. После этого не переходите просто к другой паре значений. Скорее сиди и думай. Утверждают, что циклическая симметрия среди λ , мю , ν немедленно генерирует некоторые дальнейшие результаты без необходимости вычисления. Кроме того, когда вы выбираете пространственное значение для индекса, скажем мю "=" 1 , то тот факт, что вы имеете дело с тензорным выражением, гарантирует, что результаты для 2 и 3 будет иметь результат, при котором сохраняется векторный характер полей.

Я думаю, что при таком подходе вы узнаете больше, чем прибегая к причудливым математическим понятиям, которые вы еще не изучили.

Вопрос становится более линейным, если мы рассмотрим генезис электромагнитного тензора. Однородные уравнения Максвелла (записаны здесь в системе Гаусса)

∇ ⋅ Б "=" 0 ∇ × Е + 1 с ∂ Б ∂ т "=" 0

разрешить определение электромагнитных потенциалов (если не калибровочное преобразование)

Б "=" ∇ × А Е "=" − ∇ Φ − 1 с ∂ А ∂ т

С этими величинами можно составить квадривектор электромагнитного потенциала

А мю "=" ( Φ , − А )

По определению электромагнитный тензор - это ротор электромагнитного потенциала. А мю

Ф α β "=" ∂ α А β − ∂ β А α

С точки зрения компонентов он принимает хорошо известную матричную форму

Ф α β "=" ( 0 + Е Икс + Е у + Е г − Е Икс 0 − Б г + Б у − Е у + Б г 0 − Б Икс − Е г − Б у + Б Икс 0 )

Поэтому вы можете написать, что

∂ γ Ф α β "=" ∂ γ ∂ α А β − ∂ γ ∂ β А α ∂ β Ф γ α "=" ∂ β ∂ γ А α − ∂ β ∂ α А γ ∂ α Ф β γ "=" ∂ α ∂ β А γ − ∂ α ∂ γ А β

Складывая три соотношения и учитывая обратимость порядка производных, получаем требуемое тензорное соотношение

∂ α Ф β γ + ∂ β Ф γ α + ∂ γ Ф α β "=" 0

Предположим, у нас есть A, и мы можем доказать, что A подразумевает B. Это полезно знать. Но вопрос здесь в том, является ли отношение один к одному? Является ли B достаточным и необходимым условием? Другими словами, подразумевает ли Б А? Чтобы ответить на такой вопрос, недостаточно просто показать, что А подразумевает Б.
Вы правы, но моя цель состояла только в том, чтобы ответить на вопрос внизу: «Есть ли лучший или более быстрый способ доказать правильность рассматриваемого утверждения?»
Простой вывод уравнений Максвелла из электромагнитного тензора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v