Вывод Эйлера-Лагранжа для лагранжиана электродинамики [дубликат]

Для$\mathcal L = -\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$Буду признателен за помощь в оценке

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}.$$

Я нашел

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})} = -\frac14\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}(\partial_{\lambda}A_{\sigma} - \partial_{\sigma} A_{\lambda})(\partial_{\lambda} A_{\sigma} - \partial_{\sigma} A_{\lambda})$$

$$= -\frac14 \frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})} \left( 2\partial_{\lambda}A_{\sigma}-2\partial_{\lambda}A_{\sigma}\partial_{\sigma}A_{\lambda}\right)$$ $$= -\frac14 4\left(\partial_{\nu} A_{\mu} - \partial_{\mu} A_{\nu}\right) \qquad(*)$$ $$= F_{\mu\nu}$$

но я не могу понять шаг, предпринятый, чтобы добраться до$(*)$. В своей попытке я использую цепное правило, чтобы получить

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})} = -\frac12 F_{\mu\nu} \frac{\partial(\partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\lambda})}{\partial(\partial_{\mu} A_{\nu})}$$

$$= -\frac12 F_{\mu\nu}(1) - \frac12 F_{\mu\nu} \frac{\partial(\partial_{\beta}A_{\lambda})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}$$ $$= -\frac12 F_{\mu\nu} - \frac12F_{\mu\nu}\delta_{\beta\mu} \delta_{\lambda\nu} = -\frac12 F_{\mu\nu} - \frac12 F_{\beta\lambda}$$

что, кажется, дает мне почти то, что я хочу, но я, должно быть, столкнулся с ошибкой, потому что это выражение больше не имеет смысла, поскольку каждый термин должен быть проиндексирован$\mu,\nu$.

Итак, у меня 2 вопроса: как нам добраться до$(*)$и где моя попытка пошла не так?