Элементарный аргумент в пользу законов сохранения из симметрий *без* использования лагранжевого формализма

Из теоремы Нётер хорошо известно, как из непрерывных симметрий в лагранжиане получается сохраняющийся заряд, который соответствует линейному импульсу, угловому моменту для поступательной и вращательной симметрии и другим.

Существует ли какой-либо элементарный аргумент в пользу того, почему сохраняются именно линейный или угловой момент (а не другие сохраняющиеся величины), не требующий знания лагранжианов? Под элементарным я подразумеваю «если это не так, то происходит эта неразумная вещь».

Конечно, мы можем сказать: «Если мы хотим, чтобы наши законы были такими же в другой точке пространства, то линейное сохранение должно сохраняться», но можем ли мы математически вывести выражение для сохраняющейся величины без использования лагранжиана?

Я хочу объяснить другу, почему они сохраняются, но у него нет знаний, чтобы понять лагранжев формализм.

Вы пробовали использовать симметрию метрики?
@safesphere Нет, я не знал об этом аргументе. Есть ли у вас какие-либо ресурсы, которые вы можете указать мне для самостоятельного расследования?

Ответы (3)

Да, суть теоремы Нётер для линейного и углового момента можно понять без использования лагранжевой (или гамильтоновой) формулировки, по крайней мере, если мы хотим сосредоточиться на моделях, в которых уравнения движения имеют вид

(1) м н Икс ¨ н знак равно Ф н ( Икс 1 , Икс 2 , . . . )
куда м н и Икс н масса и расположение н -й объект, верхние точки обозначают производные по времени, а Ф н это сила на н -й объект, который зависит от местоположения всех объектов.

(В этом ответе по-прежнему используется математика, но не используются лагранжианы или гамильтонианы. Возможен и ответ без использования математики, но он будет более многословным и менее убедительным.)

Входными данными теоремы Нётер являются принцип действия вместе с (непрерывной) симметрией. Для системы типа (1) принцип действия можно выразить следующим образом:

(2) Ф н ( Икс 1 , Икс 2 , . . . ) знак равно − ∇ н В ( Икс 1 , Икс 2 , . . . ) .
Ключевым моментом этого уравнения является то, что все силы являются производными от одной и той же функции В . В вольном переводе это говорит о том, что если сила на объекте А зависит от расположения объекта Б , то сила на объекте Б также должны зависеть (особым образом) от местоположения объекта А .

Сначала рассмотрим линейный импульс. Предположим, что модель инвариантна относительно перемещений в пространстве. В контексте теоремы Нётер это утверждение о функции В . Это важно! Если бы мы просто предположили, что система уравнений (1) инвариантна относительно переносов в пространстве, то сохранение импульса не предполагалось бы. (Чтобы убедиться в этом, рассмотрим систему только с одним объектом, на который действует сила, не зависящая от местоположения.) Что нам нужно сделать, так это предположить, что В инвариантен относительно переносов в пространстве. Это означает

(3) В ( Икс 1 + с , Икс 2 + с , . . . ) знак равно В ( Икс 1 , Икс 2 , . . . )
для любого с . Это же условие может быть выражено и так:
(4) ∂ ∂ с В ( Икс 1 + с , Икс 2 + с , . . . ) знак равно 0 ,
куда ∂ / ∂ с обозначает градиент относительно с . Уравнение (4), в свою очередь, можно записать и так:
(5) ∑ н ∇ н В ( Икс 1 Икс 2 , . . . ) знак равно 0.
Объедините уравнения (1), (2) и (5), чтобы получить
(6) ∑ н м н Икс ¨ н знак равно 0 ,
что тоже можно написать
г д т ∑ н м н Икс ˙ н знак равно 0.
Это сохранение (полного) линейного количества движения.

Теперь рассмотрим угловой момент. Для этого нам нужно предположить, что В инвариантен относительно вращений. Чтобы быть конкретным, предположим, что В инвариантен относительно поворотов вокруг начала координат; это приведет к сохранению углового момента относительно начала координат. Аналогом уравнения (5) является

(7) ∑ н Икс н ∧ ∇ н В ( Икс 1 Икс 2 , . . . ) знак равно 0
где компоненты Икс ∧ ∇ находятся Икс Дж ∇ к − Икс к ∇ Дж . (Для трехмерного пространства это обычно выражается с помощью «перекрестного произведения», но я предпочитаю формулировку, которая работает в любом количестве измерений , чтобы ее можно было без колебаний применять к более простым случаям, таким как двумерное пространство.) Уравнение ( 7) выражает предположение, что В инвариантен относительно поворотов вокруг начала координат. Как и раньше, объедините уравнения (1), (2) и (7), чтобы получить
(8) ∑ н Икс н ∧ м н Икс ¨ н знак равно 0 ,
и используйте тривиальное тождество
(9) Икс ˙ н ∧ Икс ˙ н знак равно 0
(так как а ∧ б имеет компоненты а Дж б к − а к б Дж ), чтобы увидеть, что уравнение (8) также можно записать
(10) г г т ∑ н Икс н ∧ м н Икс ˙ н знак равно 0.
Это сохранение (полного) углового момента относительно начала координат.

Интересное отступление: если это не сработает, значит, это что-то говорит о Вселенной — либо она плохо описывается уравнением, с которого вы начали, либо у нее нет трансляционной симметрии. Я нахожу, что размышления об этом случае и о том, что из этого следует в отношении того, как должен работать наш мир, дают мне большую признательность за тот факт, что это уравнение и эти симметрии действительно работают!

Попробуйте формализм Гамильтона : если генератор симметрии Вопрос коммутирует с гамильтонианом [ Вопрос , ЧАС ] знак равно 0 затем Вопрос является сохраняющейся величиной.

Конечно, но это QM. А как же классическая физика?
Это также работает в классической механике, где [ ⋅ , ⋅ ] является скобкой Пуассона.
Я так и предполагал, но поскольку я привык к нотации {}... ха-ха. В любом случае, вы должны добавить это к своему ответу.
@Qmechanic Правильно ли в классической механике интерпретировать скобку Пуассона? { ф , ЧАС } двух функций ф , ЧАС следующее? " { ф , час } измеряет производную от ф по кривым линиям ЧАС , что означает частную производную по вектору Икс которая касается кривых линий ЧАС ( Икс является гамильтоновым векторным полем)». Это грубая идея, которую я получил, читая CM, но я не знаю, является ли она строгой. Икс дает течение времени, по сути ф сохраняется во времени, если она постоянна вдоль кривых ЧАС , которые являются траекториями постоянной энергии в фазовом пространстве.
Да, д ф д т знак равно { ф , ЧАС } + ∂ ф ∂ т .

Есть ли разница от того, что говорят, что это просто законы и на самом деле нет никакого объяснения, что природа так устроена, потому что нет экспериментов, в которых мы когда-либо наблюдали бы несохранение этих величин? Симметрия под действием группы Пуанкаре подразумевает эти законы сохранения, но я не уверен, что вы даете более глубокое объяснение этому. Мы навязываем физической системе эти симметрии, потому что хотим, чтобы что-то сохранялось, а как вы доказываете правильность гипотезы о существовании некоторых симметрий? Выполнение экспериментов, которые показывают сохранение определенных величин. Итак, мы вернулись к началу, они сохраняются, потому что они сохраняются, то есть эксперименты говорят нам, что они сохраняются.

Вопрос в том, можем ли мы математически вывести выражение для сохраняющейся величины без использования лагранжиана ? Ваш ответ вообще не касается вопроса. Дело не в философии того, почему происходит сохранение.
@Beanluc В исходном сообщении он спрашивает: «Есть ли какой-либо элементарный аргумент в пользу того, почему сохраняются именно линейный или угловой момент (а не другие сохраняющиеся величины), который не требует знания лагранжианов?» И я привел аргумент, который не требует использования лагранжианов, говоря, что существуют законы сохранения, потому что так это работает.
Я согласен, что в конце концов он круговой, поэтому, строго говоря, вы не можете полностью оправдать симметрии. Но вы можете сформулировать вопрос по-разному, и это может дать вам понимание. Лагранжианы позволяют очень легко обобщать, но для меня они не очень поучительны. Подход через потенциалы, предложенный Дэном, более понятен, хотя то, что силы представлены потенциалом, по сути является аксиомой, вы не можете это доказать, но мне легче проглотить.
Элементарный аргумент в пользу законов сохранения из симметрий *без* использования лагранжевого формализма
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v