Что означает инвариантность системы относительно вращения?

Этот вопрос призван прояснить путаницу в отношении инвариантности относительно вращения и связанного с этим сохранения углового момента.

Путаница возникла при изучении следующей задачи:

Частица с массой м движется без трения по плоской поверхности из А в В со скоростью в 0 . После того, как частица проходит точку B, кто-то начинает втягивать частицу с помощью тонкой нити, начинающейся из точки P. Затем частица движется по полукругу от B до C. Когда частица достигает точки D, притяжение от струна останавливается, и частица движется к D с постоянной скоростью.

Точка O — это середина между B и C и центр полукруга от B до C. Точка P — это середина между O и C.

образ проблемы

  1. Какова скорость частицы в точке С?
  2. Какую работу совершает струна над частицей, когда она перемещается из точки В в точку С?
  3. Сколько времени нужно, чтобы переместиться из B в C.

Я изучал решение проблемы с другом. Решение включает в себя использование закона сохранения углового момента, и довольно очевидно, что он сохраняется вокруг P, поскольку единственная сила не имеет тангенциальных частей по сравнению с P.

Говоря об этом сохранении углового момента, мой друг упомянул нечто, называемое теоремой Нётер, и сказал, что угловой момент сохраняется, поскольку система инвариантна при вращении вокруг точки P.

Вполне логично, что система не меняется при вращении вокруг P — все просто вращается, и что? Я не понимаю, почему это подразумевает сохранение углового момента, и я не понимаю, почему он не инвариантен к вращению вокруг другой точки, такой как B. Похоже, я неправильно понял, что значит быть инвариантным к вращению.

Полный ответ на этот вопрос позволил бы ответить на следующее: что значит быть инвариантным к вращению и почему это подразумевает сохранение импульса? Почему перечисленная задача инвариантна относительно вращения вокруг P, но не вокруг B?

Я не изучал лагранжеву или гамильтонову механику.

Ответы (1)

Теорема Нётер утверждает, что с каждой сохраняющейся величиной в динамической системе связана симметрия, и наоборот.

Например, предположим, что у вас есть система, в которой сохраняется энергия. Затем, проводите ли вы эксперимент с ним прямо сейчас или проводите эксперимент дельта т время спустя, вы получите те же результаты. Система инвариантна относительно переноса времени.

Предположим, у вас есть система, для которой импульс сохраняется в определенном направлении, скажем, при столкновении двух бильярдных шаров. Тогда, сдвинете ли вы систему в том же направлении и проведете эксперимент или проведете его здесь, вы получите одинаковые результаты. Сравните это с системой на наклонном бильярдном столе. Для этого, как только вы сместите систему, импульс шаров будет увеличиваться (из-за силы тяжести).

Возвращаясь к вашему вопросу, инвариантность к вращению относительно точки означает неизменность результатов при выполнении эксперимента как есть и при его выполнении после того, как он был (мгновенно) повернут на любой произвольный угол вокруг этой точки. Например, предположим, что я нахожусь на поверхности земли, скажем, в Лондоне, и провожу какой-то эксперимент (скажем, качаю маятник). Теперь предположим, что я мгновенно вращаюсь вокруг Земли и достигаю Парижа. Теперь при условии, что не было изменений высоты и вращение было мгновенным (поскольку мы не предполагаем сохранение энергии), я получил бы те же результаты для эксперимента.

Наконец, он не является инвариантным относительно точки B, поскольку предположим, что вы вращаете эксперимент вокруг B так, что точка P проходит через начальную траекторию частицы. Тогда результирующее движение не будет таким же. На мой взгляд, поворот гамильтониана аналогичен повороту конфигурации установки — потенциалов, источников сил и т. д., — а не начальных условий траектории.

Что означает инвариантность системы относительно вращения?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v