Элементарное доказательство минимального количества или параметров, необходимых для уникальной идентификации силы-крутящего момента (также известного как гаечный ключ) в 2D и 3D.

Поскольку термин сила-момент (он же вектор гаечного ключа), вероятно, более распространен в робототехнике, чем в физике, давайте попробуем начать с определения искомого: сила-момент — это экономный набор (точнее, вектор) параметров, которые достаточны, чтобы вывести все предполагаемые эффекты (поступательные и вращательные) силы, действующей на твердое тело. Для иллюстрации мы хотим иметь возможность отличить от наших параметров случай толкания по линии, проходящей через центр масс ящика [с заданной силой], и случай толкания с равным (в смысле обычного 2D или 3D-вектор) сила на другой линии; первый сценарий вызовет только смещение, а второй вызовет составное движение сдвига и поворота, см. диаграмму . Пожалуйста, сравните случаи 2D и 3D.

На самом деле я знаю ответ на этот вопрос, и то, что я здесь собираю, — это запрос на хорошее элементарное доказательство. Я надеюсь, что такое доказательство может быть полезным дополнением к этому сайту, потому что люди, сбитые с толку этой проблемой, часто не являются экспертами в алгебрах Ли (например, говорят, что в 2D-случае мы говорим об элементах алгебры Ли se(2)* и то, что в трехмерном случае se(3)* и что размерность первого равна трем, а второго — шести, для многих будет неясным). Этот вопрос здесь мотивирован несколько туманным утверждением, сделанным в вопросе по математике. SEчто я интерпретировал как утверждение, что сила-крутящий момент в 3D является 5-мерным [обратите внимание, что плитка вопроса там не отражает фактическое содержание вопроса; вам нужно прочитать все его тело.] Я подозреваю, что тем из вас, кто преподает физику, возможно, приходилось объяснять это кому-то раньше...

Я думаю, что человек в математическом вопросе, на который вы ссылались, думает о силе и крутящем моменте, возникающих в результате силы, действующей на одну точку. Для этого требуется всего пять параметров, потому что составляющая вдоль силы, в которой сила приложена, не имеет значения. Например, если моя сила находится в Икс ^ направлении, не имеет значения, применяю ли я его в ( 1 , 1 , 0 ) или ( 0 , 1 , 0 ) .
@NowIGetToLearnWhatAHeadIs: что вы подразумеваете под «силой, действующей на одну точку»? Он явно говорит о твердых телах, см. его пример от «12 января в 17:22» .
Под «силой, действующей на одну точку» я имею в виду случай твердого тела с одним точечным зарядом в нем. Теперь предположим, что это тело помещено в однородное электрическое поле. Тогда тело будет ощущать силу только в месте расположения точечного заряда. Сравните это со случаем массивного тела в гравитационном поле. В этом случае каждый маленький кусочек массы в теле ощущает гравитационную силу.
@NowIGetToLearnWhatAHeadIs: я до сих пор не понимаю, как этот сценарий (одна заряженная частица в твердом теле) вызывает размерное уменьшение точно на 1 в трехмерной силе-крутящем моменте, то есть как сила-крутящий момент в этом случае является 5-мерным.
И гаечные ключи, и повороты охватывают пространство 3 степеней свободы в 2D и пространство 6 степеней свободы в 3D. Это две составляющие силы и одна составляющая крутящего момента или две составляющие скорости и одна составляющая скорости вращения. Оба являются элементами проективной геометрии, где линия на бесконечности представляет собой чистый крутящий момент, а точки на бесконечности представляют собой единичные перемещения.

Ответы (1)

Для 2D-силы необходимы три параметра (в отличие от 6 для 3D, см. https://math.stackexchange.com/a/1157906/3301 ).

Состав

Сила с величиной Ф вдоль направления е → "=" ( е Икс , е у ) прохождение через точку р → "=" ( р Икс , р у ) описывается тремя параметрами

ф "=" ( а , б , с ) "=" ( Ф е Икс , Ф е у , Ф ( е у р Икс − е Икс р у ) )

Разложение

Учитывая силу ф "=" ( а , б , с ) найти параметры

  • Величина
    Ф "=" а 2 + б 2
  • Направление
    е → "=" ( а Ф , б Ф )
  • Расстояние линии от начала координат
    г "=" с Ф
  • Позиция
    р → "=" ( б г Ф , − а г Ф ) "=" ( г е у , − г е Икс )

Вместе вышеизложенное составляет силу

ф "=" ( Ф Икс , Ф у , г Ф )
который содержит в последнем параметре эквивалентный момент силы на расстоянии.

Обратите внимание, что если движущееся плоское твердое тело имеет 3 компонента движения (т. е. скручивание) в "=" ( в Икс , в у , ю ) в начале координат, то сила с компонентами ф "=" ( Ф Икс , Ф у , г Ф ) применяется, то производимая/требуемая мощность равна

п "=" ф ⋅ в
где ⋅ является внутренним продуктом.

Краткое содержание

Силы, импульсы и движения в 3D — это все винты с 6 компонентами. Их плоские выступы (плоские винты) имеют 3 компонента. Они заставляют набор однородных координат на плоскости, где движения являются точками, а силы/импульсы являются линиями. Точки представляют мгновенный центр вращения, а линии - линию действия. Когда они образуют полярно-полюсную пару, линия действия называется осью перкуссии.

Что ж, это достойное доказательство того, что в 2D достаточно трех параметров, чтобы восстановить силу и точку ее приложения, но это не доказательство того, что вы не можете обойтись только двумя параметрами (каким-то образом). Кроме того, в этом доказательстве нет ничего о том, почему вам нужно 6 параметров (а не 5), чтобы описать силу-момент в 3D. Здесь я играю придирчивого старшекурсника... как вы, наверное, заметили; это после того, как я попытался написать подобное доказательство в своих комментариях на math.SE, но понял, сколько пробелов в таком элементарном доказательстве (с которым нужно разобраться).
Сила, находящаяся в двумерном пространстве, характеризуется двумерным вектором (направление + величина) и минимальным расстоянием от линии действия до начала координат (эквиполентный момент). Это 3 параметра, и они идентичны 3 параметрам, необходимым для описания линии в 2D с однородными координатами. Однако эти параметры не уникальны, поскольку существует альтернативный набор, в котором используется вектор нормали к линии действия вместо вектора вдоль, точно так же, как плоскости представлены в 2D с однородными координатами.
Элементарное доказательство минимального количества или параметров, необходимых для уникальной идентификации силы-крутящего момента (также известного как гаечный ключ) в 2D и 3D.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v