Энергия Гравитона

Предполагается, но не измеряется, что e =hw. См. эту ссылку о сложности измерения одного гравитона. http://arxiv.org/abs/gr-qc/0601043

Интересное упражнение — вычислить количество и длину волны гравитонов от падающего яблока. В качестве первого приближения можно вычислить гравитационные волны, излучаемые яблоком, вращающимся вокруг Земли, и использовать формулы, разработанные для двойных черных дыр и нейтронных звезд в экспериментах LIGO VIRGO и т. д. На низкой околоземной орбите яблоко будет излучать на длине волны примерно 90 световых минут, плюс-минус два. Это примерно 10^12 метров. Тогда каждый гравитон будет нести около 10^-30 эрг, что очень мало. Согласно статье о гравитационных волнах в Википедии, система Солнце-Земля излучает 200 Вт гравитационного излучения, но обычно это излучает 10^-34 эрг гравитонов. 200 ватт — это 2 10 ^ 9 эрг-секунд, поэтому система Солнце-Земля излучает 10 ^ 43 гравитонов в секунду. Используя формулу из статьи в Википедии, система земля-яблоко с яблоком весом в одну десятую килограмма будет излучать в 10^46 раз меньше мощности гравитационных волн, или 10^-42 ватта или 10^-35 эрг/сек. Это подразумевает в среднем один гравитон каждые 10 ^ 5 секунд, или примерно один раз каждые двадцать 5400-секундных оборотов. Если ваше падающее яблоко падает примерно на одну секунду, оно должно излучать один гравитон один раз из каждых ста тысяч попыток. Чтобы быть более похожим на орбитальную картину, ваше яблоко должно быть брошено горизонтально, как бейсбольный мяч, а не падать вертикально. он должен излучать один гравитон один раз из каждых ста тысяч попыток. Чтобы быть более похожим на орбитальную картину, ваше яблоко должно быть брошено горизонтально, как бейсбольный мяч, а не падать вертикально. он должен излучать один гравитон один раз из каждых ста тысяч попыток. Чтобы быть более похожим на орбитальную картину, ваше яблоко должно быть брошено горизонтально, как бейсбольный мяч, а не падать вертикально.

Так обстоит дело с оговоркой: это работает только для слабой линеаризованной теории. Если гравитоны представляют собой небольшое возмущение поля на плоском фоне в линейном уравнении поля Эйнштейна, то это так. В более общем случае это менее определенно. Энергия не локализуется в общей теории относительности. Ниже я собираюсь описать линейную квантовую гравитацию для длинноволновых гравитонов в ИК-диапазоне.

Гравитационная волна — это возмущение фоновой метрики.$\eta_{ab}$с общей метрикой

$$g_{ab}~=~\eta_{ab}~+~h_{ab}.$$ Плоская фоновая метрика имеет нулевую кривизну Риччи, так что в первом порядке по возмущению $$R_{ab}~=~\delta R_{ab},$$ входящее в уравнение поля Эйнштейна $R_{ab}~-~1/2Rg_{ab}~=~\kappa T_{ab}$, где $\kappa~=~8\pi G/c^4$— очень малая константа связи между источником импульса-энергии и конфигурацией пространства-времени или полем. Тогда кривизна Риччи первого порядка равна $$R_{ab}~=~{1\over 2}\Big(\partial_c\partial_a{h^c}_b~+~\partial_c\partial_b{h^c}_a~-~\partial_a\partial_bh~-~\partial_c\partial^ch_{ab}\Big).$$ С точностью до первого порядка гармонический датчик $\partial_c{h^c}_a~=~1/2\partial_mu h$уравнение поля Эйнштейна дает $$\partial^c\partial_ch_{ab}~-~\frac{1}{2}\eta_{ab}\partial^c\partial_ch~=~{{16\pi G}\over c^4}T_{ab},$$ который корректно определен для бесследового метрического члена ${\bar h}_{ab}~=~h_{ab}~-~{1\over 2}\eta_{ab}h$с простым волновым уравнением $$\partial^c\partial_c{\bar h}_{ab}~=~{{16\pi G}\over c^4}T_{ab}.$$

Для волны в вакууме источник энергии импульса равен нулю, а волновое уравнение имеет вид$\partial^c\partial_c{\bar h}_{ab}~=~0$. Это бивекторный аналог простого волнового уравнения для электромагнитной волны в свободном пространстве. Волна представляет собой поперечную бесследную волну$h_{ab}~=~A^{TT}_{ab}exp(ik_cx^c)$с

$$A^{TT}_{ab}~=~\left(\matrix{0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & A_{xx} & A_{yx} & 0\cr 0 & A_{xy} & -A_{xx} & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 }\right).$$ Условия $A_{xx}$и $A_{xy}$представляют направление поляризации. Тогда линеаризованная гравитационная волна имеет спиральность, равную двум, что имеет свой квантовый аналог в дифотонном состоянии в квантовой оптике.

Аналог с фотоном в этом линеаризованном приближении для метрического возмущения$h_{ab}~=~\phi^c_a\phi_{bc}$расширяется в соответствии с полем. Чтобы продвинуться вперед, давайте расширим поле$\phi^a_b$согласно операторам гармонического осциллятора$b,~b^\dagger$. Затем поля расширяются как

$$\phi^a_b~=~\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_k E^a_b (b(k)e^{i\theta(k)} + b^\dagger e^{-i\theta(k)})$$ где $E^a_b$тетрада, которая обсуждается ниже. Тогда метрическое возмущение равно $$\phi^a_c\phi_{cb}~=~\frac{1}{2}\sum_{kk’}\eta^a_b(b(k)b^\dagger(k’)e^{i\theta(k) – i\theta(k’)}~+~b^\dagger(k)b(k’) e^{-i\theta(k’) – i\theta(k)})$$ $$+~\frac{1}{2}\sum_{kk’}\eta^a_b(b(k)b^(k’)e^{i\theta(k)+i\theta(k’)}~+~b^\dagger(k)b^\dagger(k’)e^{-\theta(k)-i\theta(k’)}),$$ Первый из этих членов представляет собой вращающуюся волну, а второй - встречно вращающуюся. Для простоты мы пока игнорируем это. Оператор Лапласа на первом члене дает волновое уравнение в терминах этих полей, а гамильтониан равен $H~=~\partial_d\phi^c_a\partial^d\phi_{bc}$это сумма свыше $\sim~\hbar\omega$условия. Читатель может заполнить детали.