Если p,q,rp,q,rp,q,r — длины перпендикуляров из вершин треугольника ABCABCABC на любой прямой, докажите, что a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p )+c2(r−p)(r−q)=4∆2a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p)+c2(r−p)(r−q)= 4Δ2a^2(pq)(pr)+b^2(qr)(qp)+c^2(rp)(rq)=4\Delta^2

Позволять :

А "=" ( Икс 1 , у 1 ) ,
Б "=" ( Икс 2 , у 2 ) ,
С "=" ( Икс 3 , у 3 )
быть вершинами треугольника А Б С . Рассмотрим произвольную прямую в перпендикулярной форме Икс потому что ⁡ θ + у грех ⁡ θ − т "=" 0 . Тогда длины перпендикуляров из вершин треугольника равны:
п "=" Икс 1 потому что ⁡ θ + у 1 грех ⁡ θ − т ,
д "=" Икс 2 потому что ⁡ θ + у 2 грех ⁡ θ − т ,
р "=" Икс 3 потому что ⁡ θ + у 3 грех ⁡ θ − т .
При этом длины сторон треугольника равны:
а 2 "=" ( Икс 3 − Икс 2 ) 2 + ( у 3 − у 2 ) 2 ,
б 2 "=" ( Икс 1 − Икс 3 ) 2 + ( у 1 − у 3 ) 2 ,
с 2 "=" ( Икс 2 − Икс 1 ) 2 + ( у 2 − у 1 ) 2 .
Используя приведенные выше значения, я попытался оценить LHS, чтобы доказать желаемый результат, но это слишком утомительно. Может ли кто-нибудь предложить мне лучшее доказательство?

Здесь ∆ это площадь треугольника.
Я думаю, что вы, вероятно, используете «длины со знаком», и если это так, то это должно быть четко указано в постановке задачи. То есть вы устанавливаете одно направление положительным, а другое отрицательным. Если прямая пересекает треугольник и вы не используете длину со знаком, то я боюсь, что утверждение ложно.
@Batominovski, реальная проблема (как упоминается в учебнике) рассматривает любую прямую и ничего не говорит о том, подписаны ли длины или нет.
Затем я предлагаю вам в любом случае добавить «длины со знаком», потому что проблема ложна без использования длин со знаком.
@JeanMarie Это потому, что перпендикуляры не являются высотами треугольника. Позвольте мне переформулировать проблему. Есть треугольник А Б С и есть фиксированная прямая линия л . Проект А , Б , и С ортогонально на л чтобы получить очки Икс , Д , и Z , соответственно. Затем, п , д , и р длины со знаком А Икс , Б Д , и С Z .
@Батоминовски Спасибо! Я плохо прочитал вопрос! Извини. Я стираю свои глупые комментарии.

Ответы (1)

Намекать. Позволять

ф ( ты , в , ж ) "=" ( в − ж ) 2 ( п − д ) ( п − р ) + ( ж − ты ) 2 ( д − р ) ( д − п ) + ( ты − в ) 2 ( р − п ) ( р − д ) .
Обратите внимание, что
ф ( ты , в , ж ) "=" ( ( в − ж ) п ) 2 + ( ( ж − ты ) д ) 2 + ( ( ты − в ) р ) 2 а а а а а + 2 ( ( ж − ты ) д ) ( ( ты − в ) р ) + 2 ( ( ты − в ) р ) ( ( в − ж ) п ) + 2 ( ( в − ж ) п ) ( ( ж − ты ) д ) .
Поэтому,
ф ( ты , в , ж ) "=" ( дет ( М ( ты , в , ж ) ) ) 2 ,
где
М ( ты , в , ж ) "=" [ 1 п ты 1 д в 1 р ж ] .

я думаю параметры ты , в , ж являются тремя вершинами треугольника.
Не совсем. Рассматривайте прямую линию как Икс -ось. Тогда координаты точек А , Б , и С являются ( ты , п ) , ( в , д ) , и ( ж , р ) , соответственно. Тогда ваше выражение равно ф ( п , д , р ) + ф ( ты , в , ж ) , но конечно, ф ( п , д , р ) "=" 0 .
Я не понимаю, как можно использовать параметры для определения в − ж "=" а , ж − ты "=" б , ты − в "=" с дает неожиданный результат, а + б + с "=" 0 . Кроме того, нам необходимо устранить п , д , р из выражения дет А .
Это не то, что я сделал. Вы заметите, что а 2 "=" ( д − р ) 2 + ( в − ж ) 2 , б 2 "=" ( р − п ) 2 + ( ж − ты ) 2 , и с 2 "=" ( п − д ) 2 + ( ты − в ) 2 . И абсолютное значение дет ( М ( ты , в , ж ) ) ровно в два раза больше площади треугольника с вершинами А ( ты , п ) , Б ( в , д ) , и С ( ж , р ) . (Я изменил имя матрицы на М чтобы не путать с точкой А .)
Красивое решение.......
Если p,q,rp,q,rp,q,r — длины перпендикуляров из вершин треугольника ABCABCABC на любой прямой, докажите, что a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p )+c2(r−p)(r−q)=4∆2a2(p−q)(p−r)+b2(q−r)(q−p)+c2(r−p)(r−q)= 4Δ2a^2(pq)(pr)+b^2(qr)(qp)+c^2(rp)(rq)=4\Delta^2
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v