Нахождение относительных координат в треугольнике

$\def\A{{\bf A}} \def\B{{\bf B}} \def\C{{\bf C}} \def\R{{\bf R}} \def\D{{\bf D}} \def\f{\phi}$Как уже упоминалось, если задача состоит в том, чтобы найти координаты$B$и$C$, эта проблема недоопределена.

Сначала рассмотрим треугольник с точкой$A$расположен в начале и точке$C$лежать на позитиве$x$-ось. Тогда координаты точек можно найти с помощью простой тригонометрии,

$$\begin{eqnarray*} \A_0 &=& (0,0) \\ \B_0 &=& (c \cos A, c\sin A) \\ \C_0 &=& (b,0). \end{eqnarray*}$$ Угол $A$, и стороны $b$и $c$Был дан. Это треугольник SAS. Треугольник можно решить, найдя $a$по закону косинусов, а один из других углов по закону синусов.

_{( Добавлено : Для полноты,$A = 72^\circ$,$b = 2.61r$, и$c=r$. Закон косинусов дает$a = \sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A} = 2.49r$. Затем$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$подразумевает$B = 86^\circ$. Наконец,$A+B+C = 180^\circ$подразумевает$C = 22^\circ$.)}

Интересующий вас набор треугольников имеет вершины вида

$$\begin{equation*} \D = \A + \R(\f)\D_0 \tag{1} \end{equation*}$$ где $\A = (A_x,A_y)$является заданным местоположением $A$, и где $\R(\f)$является матрицей вращения . Преобразование (1) представляет собой поворот против часовой стрелки на угол $\f$, за которым следует сдвиг, так что точка $A$имеет заданные координаты. В компонентах, $$\begin{eqnarray*} A_x &=& A_x \\ A_y &=& A_y \\ B_x &=& A_x + c\cos A\cos\f - c\sin A\sin\f \\ &=& A_x + c\cos(A+\f) \\ B_y &=& A_y + c\cos A\sin\f + c\sin A\cos\f \\ &=& A_y + c\sin(A+\f) \\ C_x &=& A_x + b\cos \f \\ C_y &=& A_y + b\sin \f. \end{eqnarray*}$$

Ниже мы рисуем треугольник до вращения и перемещения черным цветом. (Мы устанавливаем$r = 1$на рисунке.) Пунктирный треугольник был повернут против часовой стрелки на$\f = 30^\circ$, а затем переводится так, чтобы новое местоположение точки$A$является$(2,1)$. Для справки,

$$\begin{eqnarray*} A_x &=& 2 \\ A_y &=& 1 \\ c &=& r = 1 \\ b &=& 2.61 \\ A &=& 72^\circ \\ \f &=& 30^\circ. \end{eqnarray*}$$

B и C не будут иметь фиксированной координаты.
Геометрическое место B, C будет окружностью с центром в A.

Теперь у нас есть только одна информация о точке B($x,y$), то есть находится на расстоянии$r$от
А($x_a,y_a$). Следовательно, имеем

$$(x-x_a)^2+(y-y_a)^2=r^2$$ которое действительно является уравнением окружности с центром в точке A и радиусом $r$.И если вы зафиксируете B на этой окружности, вы получите соответствующую точку C.